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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 19

19. Se g é uma função diferenciável tal que g 0 = 1 2 e g ' 0 = 1 , e f x = cos ⁡ x · g 2 t g x x 2 + 2 , calcule f ' 0 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos uma função g diferenciável e f dada por f x = cos ⁡ x · g 2 t g x x 2 + 2 . Foi dado que g 0 = 1 2 e g ' 0 = 1 e nosso objetivo é obter f ' 0 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para resolver esse problema, temos que aplicar a regra do produto já que temos o produto entre cos ⁡ x e g 2 t g x x 2 + 2 .

Para a derivada de g temos que aplicara regra da cadeia já que g é uma função composta.

A regra da cadeia é dada pela derivada da função de dentro multiplicada pela derivada da função de fora

Bora começar! 😉

Passo 2

Calculando a derivada de f sendo f x = cos ⁡ x · g 2 t g x x 2 + 2

f ' x = d cos ⁡ x · g 2 t g x x 2 + 2 d x

Aplicando a regra do produto

f ' x = d cos ⁡ x d x · g 2 t g x x 2 + 2 + cos ⁡ x · d g 2 t g x x 2 + 2 d x

Aplicando a regra da cadeia na derivada de g 2 t g x x 2 + 2 sendo g t g x x 2 + 2 = u

f ' x = d cos ⁡ x d x · g 2 t g x x 2 + 2 + cos ⁡ x · d u 2 d u · d g t g x x 2 + 2 d t g x x 2 + 2

Mais uma vez aplicando a regra da cadeia para g t g x x 2 + 2 ...

f ' x = d cos ⁡ x d x · g 2 t g x x 2 + 2 + cos ⁡ x · d u 2 d u · d t g v d v · d x x 2 + 2 d x · d g t g x x 2 + 2 d t g x x 2 + 2

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo

f ' x = - sin ⁡ x · g 2 t g x x 2 + 2 + cos ⁡ x · 2 u · s e c 2 v · - x 2 + 2 x 2 + 2 2 · g ' t g x x 2 + 2

Voltando u para g t g x x 2 + 2 e v para x x 2 + 2

f ' x = - sin ⁡ x · g 2 t g x x 2 + 2 + cos ⁡ x · 2 g t g x x 2 + 2 · s e c 2 x x 2 + 2 · - x 2 + 2 x 2 + 2 2 · g ' t g x x 2 + 2

Fazendo x = 0

f ' x = - sin ⁡ 0 · g 2 t g 0 0 2 + 2 + cos ⁡ 0 · 2 g t g 0 0 2 + 2 · s e c 2 0 0 2 + 2 · - 0 2 + 2 0 2 + 2 2 · g ' t g 0 0 2 + 2

f ' x = - 0 · g 2 0 + cos ⁡ 0 · 2 g 0 · s e c 2 0 · 1 · g ' 0

Se g 0 = 1 2 e g ' 0 = 1 , então

f ' x = 1 · 2 1 2 · 1 · 1 · 1

f ' x = 1

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f ' x = 1

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