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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UFES, Cálculo I, Lista 8, 2018.1, questão 8b

Seja y = u cos 2 ⁡ ( u 3 ) .

(b) Se u = u ( x ) , calcule d y d x e d 2 y d x 2 .

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Tranquilo por aí?

Nessa questão vamos calcular a derivada da nossa função em relação a variável x   , beleza? O nosso u na função é uma outra função que depende de x .

Primeiramente vamos aplicar a regra do produto.

f ∙ g ' = f ' ∙ g + f ∙ g '

Derivando nossa função:

d y d x = d ( u ( x ) cos 2 ⁡ u 3 ( x ) ) d x

Nossa função f será u ( x ) . Já nossa função g será cos 2 ⁡ u 3 ( x ) .

Então pela regra do produto, teremos

d ( u ( x ) ) d x cos 2 ⁡ u 3 ( x ) + d ( cos 2 ⁡ u 3 ( x ) ) d x u

d u d x cos 2 ⁡ u 3 ( x ) + d ( cos 2 ⁡ u 3 ( x ) ) d x u

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia em

d ( cos 2 ⁡ u 3 ) d x = 2 cos ⁡ u 3 ( x ) ( cos ⁡ u 3 ( x ) ) '

cos ⁡ u 3 x ' = - 3 u 2 sen ⁡ u 3 x d u d x

Logo

d ( cos 2 ⁡ u 3 ( x ) ) d x = 2 cos ⁡ u 3 ( x ) cos ⁡ u 3 ( x ) ' = ( 2 cos ⁡ u 3 ( x ) ) ( - 3 u 2 sen ⁡ u 3 ( x ) ) d u d x

Passo 3

Agora que calculamos a segunda derivada, podemos substituir na regra do produto

d ( cos 2 ⁡ u 3 x ) d u u ( x ) = 2 cos ⁡ u 3 x - 3 u 2 x sen ⁡ u 3 x d u d x u x

d ( cos 2 ⁡ u 3 x ) d u u = - 6 u 3 ( x ) sen ⁡ u 3 ( x ) cos ⁡ ( u 3 ( x ) ) d u d x

Logo, nossa derivada será:

cos 2 ⁡ u 3 x - 6 u 3 x sen ⁡ u 3 x cos ⁡ u 3 x d u d x

Podemos ocultar o argumento da função u ( x ) escrevendo somente u para simplificar a escrita.

Prontinhoooo! Finalizamos!

Resposta

( cos 2 ⁡ u 3 - 6 u 3 sen ⁡ u 3 cos ⁡ u 3 ) d u d x

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