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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

Determine d y d x usando a regra da cadeia, sendo y uma função composta de

a   y = u 3                     e                     u = x

b   y = u                     e                     u = x 3

Passo 1

a Ora, nesse caso nós temos um y em função de u e um u em função de x . Assim podemos escrever:

y u x

Passo 2

Para derivar esse cara, usamos a Regra da Cadeia:

y u x ' = y ' u x     u ' x

Escrevendo de outra forma, nós temos,

d y d x =   d y d u   ×   d u d x

Passo 3

Derivando cada uma das funções que mostramos na Regra da Cadeia, ou seja, y ' u x e     u ' x , teríamos:

d y d u = u 3 ' = 3 u 2

d u d x = x 1 2 ' = 1 2 x - 1 2

Logo, substituindo as derivadas na expressão da Regra da Cadeia :

y u x ' = y ' u x     u ' x = 3 u 2 1 2 x - 1 2

= 3 x 1 2 2 1 2 x - 1 2

= 3 2 x 1 2

Passo 4

( b ) Novamente, nós temos um y em função de u e um u em função de x . Assim, é possível escrever:

y u x

Passo 5

Para derivar esse cara, usamos a Regra da Cadeia:

y u x ' = y ' u x     u ' x

Escrevendo de outra forma, nós temos,

d y d x =   d y d y   ×   d u d x

Passo 6

Derivando cada uma das funções, teríamos:

d y d u = u 1 2 ' = 1 2 u - 1 2

d u d x = x 3 ' = 3 x 2

Logo, substituindo as derivadas na expressão da Regra da Cadeia:

y u x ' = y ' u x     u ' x = 1 2 u - 1 2 3 x 2

= 3 2 x 3 - 1 2 x 2

= 3 2 x 1 2

Resposta

a   3 2 x 1 2

b   3 2 x 1 2

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