UFES– Cálculo 1 – Lista 7 – Questão 11
Sejam e , calcule
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou traduzi-la para você! Vamos lá
“Sejam e ,”
Até aqui tudo bem, o problema apenas nos deu duas funções. A seguir temos:
“calcule ”
Mas calma! Você já sabe que quando tem uma ‘aspinha’ em alguma função significa dizer que queremos a derivada dessa função:
Tudo bem até aqui?
Dentro desse sinal de derivada temos o seguinte:
Isso aqui significa dizer que queremos a função composta com a função g
Ou seja, no argumento da função (no nosso caso o ) vamos substituir a função ! O resultado disso é uma função composta!
Beleza?
E aquele ? É o ponto que queremos aplicar a derivada! Então nossa missão é o seguinte:
- Encontrar a função composta
- Derivar essa função
- Aplicar a derivada no ponto
- Simplificar, se possível
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossas funções são:
E precisamos encontrar
Sendo assim, onde tem na vamos substituir pela função :
Beleza? Vamos guardar esse resultado!
Passo 3
Nosso próximo passo é derivar a função composta que encontramos! Nossa função é:
Vamos derivar esse negócio agora!
Logo de cara vemos que temos uma raiz com outra raiz por dentro. Quando temos uma função dentro da outra usamos a: REGRA DA CADEIA
A regra da cadeira consiste em: derivar a função mais de fora (no caso a raiz quadrada) e usar como argumento tudo que está dentro dela.
Nesse caso: . E depois? Depois multiplicar pela derivada dessa coisa!
Ta tranquilo?
então a derivada é:
E agora? Terminou? Não! Agora precisamos derivar aquele argumento!
Vamos lá! Usando novamente a regra da cadeia:
E por fim derivar a tangente (último argumento e função mais ‘interna’):
Tudo bem até aqui?
Passo 4
Nosso último passo é aplicar a derivada no ponto :
Agora é só substituir os valores e simplificar:
E é isso:
Ufa! Terminamos! Espero ter ajudado!
Até próxima!