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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 21

21. Se f e g são funções deriváveis tais que g x = f x · arcsin ⁡ x , calcule g ' 1 2 , sabendo que f ' π 12 = 3 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema foi dado uma função g dada por g x = f x · arcsin ⁡ x e partir dela queremos obter g ' 1 2 sabendo que f ' π 12 = 3 .

Parece confuso, né? 😬

Para obter a derivada de g sabendo que g x = f x · arcsin ⁡ x temos que derivar f pela regra da cadeia já que f é uma função composta.

A regra da cadeia é aplicada derivando a função de dentro e multiplicando a derivada da função de fora, ou seja

f g x = g ' x · f ' g x

Bora começar! 😊

Passo 2

Se g x = f x · arcsin ⁡ x aplicando a regra da cadeia sabendo que a função interna é x · arcsin ⁡ x e a função externa é f

g ' x = d x · arcsin ⁡ x d x f ' x · arcsin ⁡ x

A derivada de x · arcsin ⁡ x é obtida a partir da regra da cadeia...

d x · arcsin ⁡ x d x = d x d x · arcsin ⁡ x + x · d arcsin ⁡ x d x

d x · arcsin ⁡ x d x = arcsin ⁡ x + x · 1 1 - x 2

d x · arcsin ⁡ x d x = arcsin ⁡ x + x 1 - x 2

Substituindo em g ' x

g ' x = arcsin ⁡ x + x 1 - x 2 f ' x · arcsin ⁡ x

Estamos interessados no ponto 1 2 , então aplicamos esse valor a x ...

g ' 1 2 = arcsin ⁡ 1 2 + 1 2 1 - 1 2 2 f ' 1 2 · arcsin ⁡ 1 2

Sabendo que arcsin ⁡ 1 2 = π 6 .

g ' 1 2 = π 6 + 1 2 1 - 1 4 f ' 1 2 · π 6

g ' 1 2 = π 6 + 1 2 3 2 f ' π 12

g ' 1 2 = π 6 + 1 3 f ' π 12

Foi dito no enunciado que f ' π 12 = 3 , então

g ' 1 2 = π 6 + 1 3 3

g ' 1 2 = 3 3 π + 6 6 3

g ' 1 2 = 3 π + 6 2 3

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

g ' 1 2 = 3 π + 6 2 3

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