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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UFES, Cálculo I, Lista 8, 2018.1, questão 9

Prove: Se y = cos ⁡ ( x ) - sen ⁡ ( x ) então 4 x y ' ' + 2 y ' + y = 0 .

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Tranquilo por aí?

Nessa questão, basta calcularmos as derivadas primeira e segunda da função e verificar que a expressão 4 x y ' ' + 2 y ' + y se anula. Vamos lá?

Derivando, temos

y ' = ( cos ⁡ ( x ) - sen ⁡ ( x ) ) ' = ( cos ⁡ ( x ) ) ' - ( sen ⁡ ( x ) ) '

Calculando as derivadas separadamente:

( cos ⁡ ( x ) ) ' = - s i n ⁡ ( x ) ( x ) ' = - s i n ⁡ ( x ) ( x 1 2   ) ' = - s i n ⁡ ( x )   1 2 x

( sen ⁡ ( x ) ) ' = c o s ⁡   ( x ) ( x ) ' = c o s ⁡   ( x ) ( x 1 2   ) ' = c o s ⁡   ( x )   1 2 x

Logo,

y ' = sin ⁡ x 2 x - cos ⁡ x 2 x

y ' = sin ⁡ x - cos ⁡ x 2 x

Passo 2

Vamos agora calcular a derivada segunda

y ' ' = sin ⁡ x - cos ⁡ x 2 x ' = 1 2 sin ⁡ x - cos ⁡ x x '

Vamos usar a regra do quociente para encontrarmos a derivada acima

y ' ' = 1 2 sin ⁡ x - cos ⁡ x x '

y ' ' = 1 2 sin ⁡ x - cos ⁡ x ' x - x ' sin ⁡ x - cos ⁡ x x 2

Bom, vamos calcular cada derivada que temos acima separadamente, beleza?

x ' = 1 2 x

sin ⁡ x ' = cos ⁡ ( x ) x ' = cos ⁡ ( x ) 1 2 x

cos ⁡ x ' = - sin ⁡ ( x )   x ' = - sin ⁡ ( x ) 1 2 x

Passo 3

Agora podemos substituir todas essas derivadas na equação onde aplicamos a regra do quociente

y ' ' = 1 2 sin ⁡ x - cos ⁡ x ' x - x ' sin ⁡ x - cos ⁡ x x 2

y ' ' = 1 2 cos ⁡ ( x ) 1 2 x + sin ⁡ ( x ) 1 2 x x - 1 2 x sin ⁡ x - cos ⁡ x x 2

Vamos reorganizar colando tudo que der em evidência, beleza?

y ' ' = 1 2 1 2 1 x   cos ⁡ ( x ) + sin ⁡ ( x ) x - sin ⁡ x - cos ⁡ x x

Multiplicando as duas constantes e reorganizando, temos

y ' ' = 1 4 1 x cos ⁡ ( x ) + sin ⁡ ( x ) x - sin ⁡ x - cos ⁡ x x

Por fim

y ' ' = cos ⁡ ( x ) + sin ⁡ ( x ) x - sin ⁡ x - cos ⁡ x 4 x x

Passo 4

Substituindo as derivadas em 4 x y ' ' + 2 y ' + y = 0 , temos

4 x cos ⁡ ( x ) + sin ⁡ ( x ) x - sin ⁡ x - cos ⁡ x 4 x x + 2 sin ⁡ x - cos ⁡ x 2 x + ( cos ⁡ ( x ) - sen ⁡ ( x )   ) = 0

Vamos com calma aqui. Note que o 4 x será cancelado assim como o 2 .

cos ⁡ ( x ) + sin ⁡ ( x ) x - sin ⁡ x + cos ⁡ x x + sin ⁡ x - cos ⁡ x x + ( cos ⁡ ( x ) - sen ⁡ ( x )   ) = 0

Vamos colocar tudo que for possível em evidência

1 x cos ⁡ ( x ) + sin ⁡ ( x ( x ) ) + ( cos ⁡ ( x ) - sen ⁡ ( x )   ) = 0

Logo

cos ⁡ ( x ) + sin ⁡ ( x ) + ( cos ⁡ ( x ) - sen ⁡ ( x )   ) = 0

0 = 0

Prontinhoooo! Finalizamos!

Resposta

Basta calcular a derivada primeira e segunda da função e substituir em 4 x y ' ' + 2 y ' + y = 0 , fazendo as simplificações necessárias para encontrar 0 = 0 .

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