UFSC – Cálculo 1 – Lista 2.7 – Questão P5
A posição de uma partícula sobre uma corda vibrante é dada pela equação , em que é medido em centímetros e em segundos. Determine a função velocidade da partíula.
Passo 1
Oi, tudo bem? O problema deu essa função aqui
Essa função representa a posição da partícula em função do tempo.
E pediu para determinarmos a função velocidade dessa partícula!
Oras bolas, o modo como a posição varia em relação ao tempo é a velocidade, certo? Então precisamos descobrir a variação da posição em função do tempo...
E o que é mesmo a variação? É a derivada!
Então o problema pede na verdade é a derivada de em relação ao tempo!
Nosso é:
E queremos !
Passo 2
Até aqui ok! Mas como que a gente deriva mesmo ? (sabemos que derivada de constante é zero, então já descartei aquele somando na frente do seno!)
Mas calma aí! Sabemos algumas derivadas! Por exemplo, o seno:
A derivada do seno é
Mas, e a derivada de
Aí que tá! O argumento do seno na derivada que conhecemos é apenas, e não ou qualquer outra função polinomial, ou até outra função dentro!
Para derivar funções assim (funções compostas) precisamos identificar a função que está mais “por fora”, a que está mais “por dentro” e aplicar a regra da cadeia
A regra da cadeia é o seguinte: seja uma função composta , a derivada dessa função é:
Nós derivamos a função que está “por fora”, mantendo o argumento da que está por dentro , depois multiplicamos esse resultado pela derivada da função de dentro
É isso, é ir derivando de fora para dentro, mantendo o argumento das de dentro, depois multiplicando pela derivada da função de dentro.
Passo 3
A função que precisa ser derivada é
A que está mais por fora é a , e a de dentro é a , então vamos aplicar a regra da cadeia: derivando o seno, mantendo o argumento (eu troquei a expressão de dentro por para facilitar nossa vida e visualizar que precisamos derivar apenas a função de fora, sem mexer no argumento dela, mas no final é só substituir pela expressão original) depois multiplicamos pela derivada de :
Assim a velocidade dessa partícula é:
E é essa nossa resposta!
Espero ter ajudado! Até a próxima!