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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

Derive as funções dos exercícios 6 a 16 (se for conveniente, use derivação logarítmica)

6)

f x = e sin ⁡ 2 x x e cos ⁡ 3 x

Passo 1

Eita! Não é uma derivada trivial, neh?

Mas não se preocupe, pois em derivadas de funções assim, sempre comesse com o que ta mais evidente. Tipo, nesse caso, temos uma derivada envolvendo exponencial, mas antes, temos uma fração... Então derivemos utilizando a regra da fração :D

f x = e sin ⁡ 2 x x e cos ⁡ 3 x       →

f ' x = e cos ⁡ 3 x ⋅ e sin ⁡ 2 x x ' - e sin ⁡ 2 x x e cos ⁡ 3 x ' e cos ⁡ 3 x 2  

Note que pela regra da fração, surgiu algumas derivadas ali em cima que devem ser resolvidas com certa calma. Bora?

Passo 2

Primeiro derivemos

e cos ⁡ 3 x '

Que aparece no final do nominador da fração em cima. Para calcular essa derivada, temos que utilizar a regra da cadeia. A função de fora é a exponencial, logo...

e cos ⁡ 3 x ' = e cos ⁡ 3 x ⋅ cos ⁡ 3 x '

Derivando utilizando a regra da cadeia novamente, considerando a função de fora agora sendo o cosseno...

e cos ⁡ 3 x ' = e cos ⁡ 3 x ⋅ - sin ⁡ 3 x ⋅ 3 x '

e cos ⁡ 3 x ' = - 3 sin ⁡ 3 x e cos ⁡ 3 x

Passo 3

Agora temos que derivar esse daqui

e sin ⁡ 2 x x '

Que está um pouquinho mais chato, pois temos que derivar o produto aplicando a regra do produto...

e sin ⁡ 2 x x ' = e sin ⁡ 2 x ' x + x ' e sin ⁡ 2 x       →

e sin ⁡ 2 x x ' = e sin ⁡ 2 x ⋅ sin ⁡ 2 x ' x + e sin ⁡ 2 x 1 2 x       →

e sin ⁡ 2 x x ' = x e sin ⁡ 2 x ⋅ cos ⁡ 2 x ⋅ 2 + e sin ⁡ 2 x 2 x       →

e sin ⁡ 2 x x ' = 2 x   cos ⁡ 2 x e sin ⁡ 2 x + e sin ⁡ 2 x 2 x

Passo 4

Voltando para a derivada central (a derivada lá do passo 1)...

f ' x = e cos ⁡ 3 x ⋅ e sin ⁡ 2 x x ' - e sin ⁡ 2 x x e cos ⁡ 3 x ' e cos ⁡ 3 x 2

E substituindo...

f ' x = e cos ⁡ 3 x ⋅ 2 x   cos ⁡ 2 x e sin ⁡ 2 x + e sin ⁡ 2 x 2 x - e sin ⁡ 2 x x - 3 sin ⁡ 3 x e cos ⁡ 3 x e cos ⁡ 3 x 2   →

f ' x = 2 x   cos ⁡ 2 x e cos ⁡ 3 x e sin ⁡ 2 x + e cos ⁡ 3 x e sin ⁡ 2 x 2 x + 3 x sin ⁡ 3 x e cos ⁡ 3 x e sin ⁡ 2 x e cos ⁡ 3 x 2   →

f ' x = e cos ⁡ 3 x e sin ⁡ 2 x 2 x   cos ⁡ 2 x + 1 2 x + 3 x sin ⁡ 3 x e cos ⁡ 3 x 2   →

f ' x = e sin ⁡ 2 x 2 x   cos ⁡ 2 x + 1 2 x + 3 x sin ⁡ 3 x e cos ⁡ 3 x   →

Simplificando em cima tirando o M M C ...

f ' x = e sin ⁡ 2 x 2 x 2 cos ⁡ 2 x 2 x + 1 2 x + 2 x ⋅ 3 x sin ⁡ 3 x 2 x e cos ⁡ 3 x   →

f ' x = e sin ⁡ 2 x 4 x cos ⁡ 2 x 2 x + 1 2 x + 6 x sin ⁡ 3 x 2 x e cos ⁡ 3 x   →

f ' x = e sin ⁡ 2 x 4 x cos ⁡ 2 x + 1 + 6 x sin ⁡ 3 x 2 x   e cos ⁡ 3 x  

Resposta

f ' x = e sin ⁡ 2 x 4 x cos ⁡ 2 x + 1 + 6 x sin ⁡ 3 x 2 x   e cos ⁡ 3 x

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