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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

Seja g uma função diferenciável tal que g 0 = 1 e g ' 0 = 0 . Considere a função

h x = sen ⁡ x g tg ⁡ x + 1 x - 1 3

Calcule h ' - 1 .

Passo 1

Vamos calcular h ' x . Começando com a regra do produto:

h ' x = cos ⁡ x g tg ⁡ x + 1 x - 1 3 + sen ⁡ x g tg ⁡ x + 1 x - 1 3 '

Passo 2

Agora temos que mandar uma regra da cadeia pra achar a derivada dessa parte da direita:

g tg ⁡ x + 1 x - 1 3 ' = 3 g tg ⁡ x + 1 x - 1 2 . g tg ⁡ x + 1 x - 1 '

g tg ⁡ x + 1 x - 1 3 ' = 3 g tg ⁡ x + 1 x - 1 2 . g ' tg ⁡ x + 1 x - 1 . tg ⁡ x + 1 x - 1 '

Pelas regras da cadeia e do quociente, temos que

tg ⁡ x + 1 x - 1 ' = sec 2 ⁡ x + 1 x - 1 ∙ x - 1 - x + 1 x - 1 2

Ou seja,

g tg ⁡ x + 1 x - 1 3 ' = 3 g tg ⁡ x + 1 x - 1 2 . g ' tg ⁡ x + 1 x - 1 sec 2 ⁡ x + 1 x - 1 ∙ x - 1 - x + 1 x - 1 2

Passo 3

Juntando isso tudo:

h ' x = cos ⁡ x g 3 tg ⁡ x + 1 x - 1 + sen ⁡ x ∙ 3 g tg ⁡ x + 1 x - 1 2 . g ' tg ⁡ x + 1 x - 1 sec 2 ⁡ x + 1 x - 1 ∙ x - 1 - x + 1 x - 1 2

Passo 4

Beleza, agora podemos achar h ' - 1 ! Repare que substituindo x = - 1 , temos tg ⁡ x + 1 x - 1 = tg ⁡ 0 = 0 .

Então temos

h ' - 1 = cos ⁡ - 1 g 3 0 + 3 sen ⁡ - 1 g 2 0 g ' 0 s e c 2 0 - 2 4

E pelo enunciado, g 0 = 1 . Ele também deu g ' 0 = 0 , ou seja:

h ' - 1 = cos ⁡ - 1 1 3 + 3 sen ⁡ - 1 1 2 0 1 2 - 2 4

h ' - 1 = cos ⁡ - 1

É isso!

Resposta

h ' - 1 = cos ⁡ - 1

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