Regras de Derivação I
Seja a função definida por
Determine os pontos em que é derivável. Justifique.
Calcule nos pontos em que é derivável.
Passo 1
Eu vou começar resolvendo a questão pela Letra para poder analisar logo a continuidade da função e de sua derivada para, assim, determinar na os pontos onde é derivável.
Vamos calcular as duas derivadas então. A primeira, para , é mais tranquila:
Essa derivada vale para com .
Passo 2
Para o domínio a derivada vai dar mais trabalho, vamos ter que usar a regra do Produto, do quociente e da cadeia, todas juntas:
É, esse monstro enorme é nossa derivada...
Agora vou voltar na letra E observar a continuidade da função e de sua derivada.
Passo 3
Agora retomando o primeiro item; ok, sabemos que o , que é válido em para , é uma função sem nenhuma descontinuidade. Olhando para o domínio de onde temos notamos que só tem descontinuidade em . Como seu domínio é em esse não seria um problema para a continuidade. Porém, como em temos uma mudança de domínio, devemos observar se os limites laterais batem para ver se ela é contínua:
Caímos numa indeterminação no segundo limite para a qual podemos usar o Teorema do Confronto:
Assim, a gente conclui que os limites laterais não batem e a não é contínua em , sendo também não derivável neste ponto.
Passo 4
Observando a continuidade das funções que achamos derivando, pela letra :
Só temos problema de continuidade de em , que já excluímos dos pontos deriváveis, e em , pois gera uma indeterminação para esse valor de .
Qual é a conclusão? não é derivável em também, mas será derivável nos demais pontos.