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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - UNICAMP (MA111) - Lista 7, Questão 2b

(2) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(b) f x = sin 3 ⁡ x 2 + sin ⁡ x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema foi dada a função f x = sin 3 ⁡ x 2 + sin ⁡ x e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

No caso, f x é uma função composta, portanto para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

f x = g h x → f ' x = h ' x · g ' h x

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = sin 3 ⁡ x 2 + sin ⁡ x , então h x = sin ⁡ x 2 + sin ⁡ x e g h x = h x 3 .

Pela regra da cadeia, temos

f ' x = d sin ⁡ x 2 + sin ⁡ x d x · d h x 3 d h x

Aplicando a regra da cadeia novamente para a derivada de h x ...

f ' x = d x 2 + sin ⁡ x d x · d sin ⁡ p x d p x · d h x 3 d h x

Podemos substituir h x e p x cada uma por uma variável qualquer para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d x 2 + sin ⁡ x d x · d sin ⁡ u d u · d v 3 d v

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

f ' x = 2 x + cos ⁡ x · cos ⁡ u · 3 v 2

Voltando u para x 2 + sin ⁡ x e v para sin ⁡ x 2 + sin ⁡ x ...

f ' x = 2 x + cos ⁡ x · cos ⁡ x 2 + sin ⁡ x · 3 sin 2 ⁡ x 2 + sin ⁡ x

f ' x = 3 2 x + cos ⁡ x cos ⁡ x 2 + sin ⁡ x sin 2 ⁡ x 2 + sin ⁡ x

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f ' x = 3 2 x + cos ⁡ x cos ⁡ x 2 + sin ⁡ x sin 2 ⁡ x 2 + sin ⁡ x

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