UFSCAR. Séries e Equações Diferenciais. Lista 1. Prof. Thais Dalbelo. Questão 1d.
1 - Calcule a derivada das seguintes funções
d)
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema, nosso objetivo é calcular a derivada de .
Pra isso, temos que analisar a estrutura dessa função e assim podemos perceber que é composta pelo produto de outras funções
Então para nos auxiliar nesse cálculo, temos que recorrer para algumas técnicas de derivação!
Consegue ver quais são essas técnicas? 🤔
A primeira coisa que podemos imaginar é a regra do produto. Como nossa função é composta pelo produto de outras funções, então podemos aplicar esse método que consiste na aplicação de uma formulinha dada por
Outro método que podemos usar é a regra da cadeia, pois certamente em algum momento vamos ter que derivar o termo e sua derivada é obtida a partir da regra da cadeia.
Esse método é usado em funções compostas e é obtida pelo produto da derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora.
Substituindo por em , temos
Bora ver como fica no nosso caso? 😁
Passo 2
Analisando a função , vemos que ela é composta pelo produto de três funções.
Portanto, como a regra do produto funciona para apenas duas funções, vamos considerar como uma função
Aplicando a regra do produto nessa função, temos
Perceba que a derivada de é a derivada do produto entre duas funções, então vamos aplicar a regra da cadeia para esse termo também.
Começando pela derivada de , já falamos sobre ela no passo anterior. Essa é uma função composta, portanto vamos aplicar a regra da cadeia.
Se a função de dentro é e a função de fora é , então
Substituindo em , temos
Ficou grandinho, não é? Agora só resta calcular as derivadas dos termos!
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Derivando e pelo método de derivação polinomial multiplicando a variável pelo seu expoente e subtraindo da sua potência, vamos obter
Já as derivadas de e de são obtidas pelo teorema fundamental do cálculo. Apelamos para esse teorema quando não podemos calcular a derivada de uma função pelos métodos convencionais, como por exemplo para funções trigonométricas e logarítmicas.
Substituindo esses resultados em , temos
Simplificando...
Não podemos deixar o resultado em função de , então temos que voltá-lo para .
E então essa é a derivada da função dada no enunciado! Gostou?
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
