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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UFCG - Sem Campus - Cálculo Diferencial e Integral I - Listas - Teste 9 - Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 2 - Derivadas - Questão 16 - Alternativa k)

Derive:

k )   y = ( x 2 + c o t g ( x 2 ) ) 3

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

O enunciado pede para que nós calculemos a derivada da seguinte função

y = ( x 2 + c o t g ( x 2 ) ) 3

Para isso vamos utilizar a regra da cadeia e algumas derivadas conhecidas! Consegue se lembrar quais são? Saca só!

Passo 2

Primeiro temos que a regra da cadeia é utilizada quando temos uma função composta da forma h ( x ) = f ( g ( x ) ) , de forma que a derivada desta função composta é

d d x [ f ( g ( i ( x ) ) ) ] = d d g [ f ( g ) ] d d x [ g ( x ) ]

utilizando que f ( g ) = g 3 e g ( x ) = x 2 + c o t g ( x 2 ) , temos que

d d x [ ( x 2 + c o t g ( x 2 ) ) 3 ] = d d g [ g 3 ] d d x [ x 2 + c o t g ( x 2 ) ]

Ou seja, agora temos duas derivadas relativamente mais simples de resolver! Vamos começar com a derivada mais extensa! Vem comigo!

Passo 3

Temos a seguinte derivada para calcular

d d x [ x 2 + c o t g ( x 2 ) ]

como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, podemos escrever que

d d x [ x 2 + c o t g ( x 2 ) ] = d d x [ x 2 ] + d d x [ c o t g ( x 2 ) ]

A primeira derivada utiliza a regra do tombo, mas para a segunda precisamos aplicar também a regra da cadeia! Vamos começar com a segunda pois é mais extensa! Okay?

Passo 4

A regra da cadeia na segunda derivada acima é tal que

d d x [ c o t g ( x 2 ) ] = d d g [ c o t g ( g ) ] d d x [ x 2 ]

A derivada da cotangente pode ser demonstrada utilizando identidades trigonométricas e a regra do quociente, nós temos esta questão resolvida no próprio site! Aqui iremos utilizar este resultado como conhecemos! Belezinha? Temos que

d d g [ c o t g ( g ) ] = c o s e c 2 ( g )

A segunda derivada aqui requer que utilizemos a regra do tombo que calcula derivadas da forma

d d x [ x n ] = n x n - 1

colocando então n = 2 , temos que

d d x [ x 2 ] = 2 x 2 - 1 = 2 x

Ou seja, a nossa derivada tem como resultado

d d x [ c o t g ( x 2 ) ] = [ c o s e c 2 ( x 2 ) ] [ 2 x ] = 2   x   c o s e c 2 ( x 2 )

aqui eu usei que g = x 2 . Maravilha! Mas isso era apenas parte da questão original! Vamos relembrar o que estávamos fazendo originalmente! Saca só!

Passo 5

Queremos calcular

d d x [ ( x 2 + c o t g ( x 2 ) ) 3 ] = d d g [ g 3 ] d d x [ x 2 + c o t g ( x 2 ) ]

Nos passos anteriores avançamos no cálculo de

d d x [ x 2 + c o t g ( x 2 ) ] = d d x [ x 2 ] + d d x [ c o t g ( x 2 ) ]

Utilizando os resultados que obtivemos nos passos anteriores, temos que

d d x [ x 2 + c o t g ( x 2 ) ] = 2   x + 2   x   c o s e c 2 ( x 2 )

Ou seja, evidenciando 2 x em comum, e colocando em nossa derivada original, temos que

d d x [ ( x 2 + c o t g ( x 2 ) ) 3 ] = d d g [ g 3 ] [ 2 x ( 1 + c o s e c 2 ( x 2 ) ) ]

Maravilha! Consegue ver o que falta fazer agora? Vem comigo!

Passo 6

Aplicando a regra do tombo para calcular a última derivada, mas agora com n = 3 , temos que

d d g [ g 3 ] = 3 g 3 - 1 = 3 g 2

Se substituirmos g ( x ) = x 2 + c o t g ( x 2 ) , podemos escrever que nossa derivada original será

d d x [ ( x 2 + c o t g ( x 2 ) ) 3 ] = [ 3 ( x 2 + c o t g ( x 2 ) ) 2 ] [ 2 x ( 1 + c o s e c 2 ( x 2 ) ) ]

Finalmente, reescrevendo um pouco a resposta, temos que

d d x [ ( x 2 + c o t g ( x 2 ) ) 3 ] = 6 x ( 1 + c o s e c 2 ( x 2 ) ) ( x 2 + c o t g ( x 2 ) ) 2

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

d d x [ ( x 2 + c o t g ( x 2 ) ) 3 ] = 6 x ( 1 + c o s e c 2 ( x 2 ) ) ( x 2 + c o t g ( x 2 ) ) 2

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