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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

Regras de Derivação

Derive a função (se possível, simplifique antes e/ou depois de derivar).

F u = u ³ - 3 u ² u 4 + 1 5 / 2

Passo 1

Vamos lá, para derivar essa função vamos precisar usar a regra do quociente. Relembrando:

f x g x ' = f ' x g x - f ( x ) g ' ( x ) g 2 ( x )

Então

F ' u = u ³ - 3 u ² ' ∙ u 4 + 1 5 / 2 - ( u ³ - 3 u ² ) u 4 + 1 5 / 2 ' u 4 + 1 5 / 2 2

Passo 2

Agora vamos derivar isso tudo aos poucos.

Começando por u ³ - 3 u ² ' .

u ³ - 3 u ² ' = 3 u 2 - 3.2 u 1

u ³ - 3 u ² ' = 3 u 2 - 6 u

Passo 3

Agora vamos para u 4 + 1 5 / 2 ' .

Usando a regra da cadeia:

u 4 + 1 5 / 2 ' = 5 2 u 4 + 1 3 2 ∙ 4 u 3

u 4 + 1 5 / 2 ' = 10 u 3 u 4 + 1 3 2

Passo 4

Vamos juntas tudo:

F ' u = ( 3 u 2 - 6 u ) ∙ u 4 + 1 5 2 - u 3 - 3 u 2 ∙ 10 u 3 u 4 + 1 3 2 u 4 + 1 5 / 2 2

Reorganizando e simplificando

F ' u = ( 3 u 2 - 6 u ) ∙ u 4 + 1 5 2 - ( 10 u 6 - 30 u 5 ) u 4 + 1 3 2 u 4 + 1 5

Colocando u 4 + 1 3 2 em evidencia e passando u 4 + 1 5 para o numerador:

F ' u = u 4 + 1 3 2 ( 3 u 2 - 6 u ) ∙ u 4 + 1 2 2 - ( 10 u 6 - 30 u 5 ) ∙ u 4 + 1 - 5

F ' u = u 4 + 1 - 7 2 ( 3 u 2 - 6 u ) ∙ u 4 + 1 1 - ( 10 u 6 - 30 u 5 )

Passo 5

Como u 4 + 1 - 7 2 ficou com expoente negativo, podemos jogar isso pro denominador:

F ' u = ( 3 u 2 - 6 u ) ∙ u 4 + 1 1 - ( 10 u 6 - 30 u 5 ) u 4 + 1 7 2

Agora é só fazer a distributiva e ver o que dá pra juntar no denominador:

F ' u = 3 u 6 + 3 u 2 - 6 u 5 - 6 u - 10 u 6 + 30 u 5 u 4 + 1 7 2

F ' u = - 7 u 6 + 24 u 5 + 3 u 2 - 6 u u 4 + 1 7 2

Resposta

F ' u = - 7 u 6 + 24 u 5 + 3 u 2 - 6 u u 4 + 1 7 2

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