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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 1 – Lista 6 – Questão 1d

Encontre a derivada da função dada.

h t = t + 1 2 3 2 t 2 - 1 3

Passo 1

Opa, e aí galerinha!! Tudo na paz? Então sem mais delongas o que acontece nessa questão aqui é o seguinte: se você perceber você vê que claramente temos um polinômio para derivar, mas esse cara está elevado a uma potência, certo?

Além disso temos uma multiplicação desses caras. Isso implica pra gente que vamos precisar fazer duas coisas aqui: regra do produto e depois regra da cadeia.

Para facilitar e usarmos a regra do produto, vamos chamar de

f t = t + 1 2 3

g t = 2 t 2 - 1 3

A regra do produto nos diz o que?

f . g ' = f ' . g + f . g '

Então perceba que nós precisamos fazer as derivadas f ( t ) ' e g ( t ) ' , e agora que entra nossa regra da cadeia.

Passo 2

Vamos então começar fazendo nossa derivada de f ( t ) '

f t = t + 1 2 3

Vamos chamar u = t + 1

F t = u 2 3

O rolê seguinte vai ser encontrar d F t d t , but WHATTTTT!!!! Como fazer esse trem?

Bem, se liga nessa macetada matemática que ajuda a gente pra caramba.

Você concorda comigo que eu posso fazer:

d F t d t = d F t d t × d u d u

Então só pra ficar de forma mais entendível, olha o que a gente faz:

d F t d t = d F t d u × d u d t

Tcharammmm e aí está a mágica da regra da cadeia. Com essa fórmula você pode desbravar o mundo da derivada implícita sem medo!!

Passo 3

Vamos achar a nossa d u d t

d u d t = 1

E agora d F t d u

d F t d u = 2 3 u 2 3 - 1 = 2 3 u - 1 3

Agora vamos adicionar isso lá na definição que deduzimos:

d F t d t = d F t d u × d u d t

d F t d t = 2 3 u 1 3 × 1

Abrindo u temos:

d F t d t = f t ' = 2 3 t + 1 3

Passo 4

Vamos então começar fazendo nossa derivada de g ( t ) '

g t = 2 t 2 - 1 3

Vamos chamar u = 2 t 2 - 1

G t = u 3

Relembrando da equação da regra da cadeia:

d G t d t = d G t d u × d u d t

Passo 5

Vamos achar a nossa d u d t

d u d t = 4 t

E agora d G t d u

d G t d u = 3 u 2

Agora vamos adicionar isso lá na definição que deduzimos:

d G t d t = d G t d u × d u d t

d F t d t = 3 u 2 × 4 t

Abrindo u temos:

d G t d t = g t ' = 3 2 t 2 - 1 2 × 4 t

g t ' = 12 t 2 t 2 - 1 2

Passo 6

Opa, agora que temos nossas derivadas prontas, só substituir na regra do produto:

f . g ' = f ' . g + f . g '

f . g ' = 2 3 t + 1 3 2 t 2 - 1 3 + t + 1 2 3 12 t 2 t 2 - 1 2

Isolando 2 3 t + 1 3 2 t 2 - 1 2 :

f . g ' = 2 3 t + 1 3 2 t 2 - 1 3 18 t t + 1 + 2 t 2 - 1

Abrindo a equação:

f . g ' = 2 3 t + 1 3 2 t 2 - 1 3 20 t 2 + 18 t - 1

Resposta

f . g ' = 2 3 t + 1 3 2 t 2 - 1 3 20 t 2 + 18 t - 1

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