UFES– Cálculo 1 – Lista 7 – Questão 12
Considere uma função diferenciável e definida por . Sabendo que , calcule
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou traduzir ela para você! Vamos lá?
“Considere uma função diferenciável”
Até aqui tudo bem, só está comentando que podemos derivar essa tal função !
“e definida por .”
Aqui começa: temos uma função que é definida em termos dessa outra função que ele falou! Notem que a é uma função que está ao quadrado e é composta!
Isso mesmo, composta! Isso porque ao invés de termos apenas um ali dentro de , temos uma outra função! O cosseno! Tranquilo até aqui? Vamos seguindo?
“Sabendo que ,”
Aqui ele nos dá duas informações! Uma sobre a função e outra sobre a derivada! E todas em um ponto muito específico, ! E eu chamei de argumento mesmo, pois dentro da temos uma função, um argumento, e não simplesmente !
Na verdade, o ponto que temos da e quando . Vamos adiante!
“calcule ”
O ponto para a é onde ! Então calcular a derivada de vai envolver a derivada de , e aplicar essa derivada em na é o mesmo que aplicar zero em !
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Precisamos derivar essa coisa:
Mas qual técnica usar? A regra da cadeia, já que a função está ao quadrado (potência: função mais externa) e dentro dela tem outra função (o cosseno)
Beleza?
então #partiu derivar!
Beleza? Vamos guardar esse resultado!
Passo 3
Estamos quase lá! Agora nossa missão é aplicar no ponto dado! Queremos a derivada de em , mas sabemos que , então:
Viu como naturalmente surgiu um ? Só colocando no cosseno!
Agora é só substituir!
E é isso! Então nosso resultado é:
Ufa! Terminamos! Espero ter ajudado!
Até próxima!