1a) Calcule a derivada da função f(x) = arcsin(e^(-x^2))

Passo 1

Opa, vamos lá. Ta vendo que temos uma função dentro da outra aí? Temos e - x 2 dentro de arcsin ⁡ x ! Cheirinho de regra da cadeia né? Fazemos então:

f ' x = arcsin ⁡ e - x 2 '

f ' x = 1 1 - e - x 2 2 e - x 2 '

f ' x = 1 1 - e - 2 x 2 e - x 2 '

Ok, mas não acabou. Afinal, precisamos achar a derivada de e - x 2 agora. E olha só! Outra função dentro da outra! Temos - x 2 dentro de e x . Sendo assim, fazendo regra da cadeia de novo:

f ' x = 1 1 - e - 2 x 2 ∙ e - x 2 ∙ - x 2 '

E sobrou uma última derivada. Mas relaxa que agora a regra da cadeia foi embora! Derivando uma última vez, temos:

f ' x = 1 1 - e - 2 x 2 ∙ e - x 2 ∙ - 2 x

E ajeitando a derivada:

f ' x = - 2 x e - x 2 1 - e - 2 x 2

Resposta

f ' x = - 2 x e - x 2 1 - e - 2 x 2

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