UFSC – Cálculo 1 – Lista 2.7 – Questão P7
Sejam tais que e. Determine e.
Passo 1
Oi, tudo bem? O problema deu uma função:
E sua derivada
Então a ideia aqui é calcular a derivada dessa função e igualar com a derivada dada! Com isso, vamos ter que uma função (derivada que achamos) só vai ser igual a outra (derivada dada) quando os termos semelhantes tiverem os mesmos coeficientes!
Com isso vamos ter condições para todas essas incógnitas!
Tranquilo? Não?
Mas calma que vou fazer passo a passo com você! Vamos lá?
Passo 2
Vamos começar derivando a função dada:
Ela é um produto de duas funções: e , então aqui vou usar a regra do produto:
Ainda dá para fazer essas multiplicações e agrupar os semelhantes (mesma potência em ):
Beleza?
Passo 3
Agora vamos resgatar do enunciado a derivada de
A ideia aqui é comparar os termos semelhantes com a derivada que encontramos no passo anterior.
Vamos começar separando os termos, aí temos o seguinte:
beleza?
Mas já sabemos quanto vale a derivada, calculamos ela no passo anterior:
Comparando a derivada que calculamos com a dada temos o seguinte:
Essa igualdade só é satisfeita quando os coeficientes dos termos semelhantes são iguais. Sendo assim temos três condições:
A condição (1) está associada ao termo com , a condição (2) com o termo e a terceira (3) com o termo .
Agora nossa missão é determinar a solução para esse sistema.
Passo 4
Nosso sistema:
Da primeira equação temos
Agora vou substituir esse resultado em (2):
E por fim, substituindo esse último resultado em (3):
Assim nossas incógnitas valem:
E é essa nossa resposta!
Espero ter ajudado! Até a próxima!