UFSC – Cálculo 1 – Lista 2.7 – Questão P4a
A composição de funções tem uma interpretação mais natural em contextos aplicados. Por exemplo, imagine um objeto de massa movendo-se sobre uma linha reta com velocidade em função do tempo dada por . Sabemos que a energia cinética deste objeto, em termos da velocidade, é dada por. Uma pergunta natural aqui seria determinar a energia cinética em função do tempo. Isso é fácil de fazer, basta substituir o valor de , isto , . Apesar de não parecer, fizemos uma composição de funções aqui. Traduzindo para o contexto matemático, pensemos que as duas funções envolvidas (escritas na variável x) são e .
A composição de com tem como resultado que é o mesmo resultado obtido acima, apenas com o nome da variável diferente. Essa interpretação é útil para analisarmos a regra da cadeia sob um outro ponto de vista. Nesse exemplo, e .
Curiosamente, a derivada da composição pode ser vista como
Você pode dizer prontamente que isso não dá a mesma coisa que usar a regra da cadeia. Lembremos que , na verdade, tem uma escrita em termos de . Substituindo, obtemos que é a resposta dada pela regra da cadeia. Em resumo, a regra da cadeia escrita da forma (última linha da tabela no início da lista) está correta, entendendo que o termo será escrito em termos de após substituir .
Em cada item, determine o que se pede.
(a) Dados onde é constante em e , determine .
Sugestão: Faça a questão acima por três métodos diferentes: (1) escrevendo as funções com o mesmo nome de variável e aplicando a regra da cadeia padrão; (2) Substituindo a segunda função dentro da primeira e já trabalhando com a primeira função na variável sobre a qual queremos derivar e (3) usando a fórmula , obtendo uma escrita híbrida com e , e depois substituir pelo seu valor em termos de .
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece ser complicada, mas vamos resolver juntos!
O problema nos deu uma função
Onde é constante no tempo, então para derivada em relação a , esse é constante. Já a função depende do tempo da seguinte forma:
E pediu para calcularmos a derivada de em relação a por três maneiras.
Em todas essas maneiras, o resultado precisa ser o mesmo!
Essas maneiras são:
(1) escrevendo as funções com o mesmo nome de variável e aplicando a regra da cadeia padrão;
(2) Substituindo a segunda função dentro da primeira e já trabalhando com a primeira função na variável sobre a qual queremos derivar e
(3) usando a fórmula , obtendo uma escrita híbrida com e , e depois substituir pelo seu valor em termos de .
Calma! Vou fazer cada uma dessas maneiras com você! Vamos lá?
Passo 2
A primeira maneira é:
- escrevendo as funções com o mesmo nome de variável e aplicando a regra da cadeia padrão;
- Substituindo a segunda função dentro da primeira e já trabalhando com a primeira função na variável sobre a qual queremos derivar
- usando a fórmula , obtendo uma escrita híbrida com e , e depois substituir pelo seu valor em termos de .
Nossas funções são:
Escrevendo essas duas funções em termos de :
E fazendo a composição delas:
E agora fazendo a derivada:
Mas , então:
Beleza?
Passo 3
A segunda maneira é a seguinte:
A primeira função é a , é a que queremos derivar. A segunda é que está em função da variável que queremos derivar, então seguindo esse passo, vamos começar substituindo a função em :
Então:
E agora podemos derivar em relação a :
Viu só? O resultado foi o mesmo! O importante é fazer a composição e derivar! Vamos encontrar a derivada agora pela terceira maneira?
Passo 4
A terceira (e última, ufa!) maneira é:
Vamos começar identificando as variáveis: no nosso caso , e .
Precisamos agora achar e .
Então:
E a derivada de em relação a é:
E agora
E a derivada de em relação a é:
Por fim vamos aplicar a fórmula dada:
Essa aqui seria uma forma híbrida se dependesse de , mas como não depende, é constante, já saiu logo de cara o resultado certinho.
Caso dependesse, a gente precisaria substituir a expressão de que usamos pra derivar. Beleza?
Então achamos:
E como podemos voltar para e ter o resultado que queremos:
Beleza?
Seja por qual caminho você escolher: o resultado dá sempre o mesmo!
Espero ter ajudado!
Vamos para a próxima questão?