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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

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Enunciado

Calcular a integral tripla

J = ∭ W   z   d x d y d z

Onde W é o sólido no primeiro octante limitado pelas superfícies de equações x 2 + y 2 + z 2 = 4 z e z = 3 ( x 2 + y 2 ) , satisfazendo z ≤ 3 ( x 2 + y 2 ) .

Passo 1

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Completando o quadrado na equação da esfera, temos:

x 2 + y 2 + z - 2 2 = 4

Uma esfera centrada em ( 0,0 , 2 ) de raio ρ = 2 . Como o cone está expresso na forma z = 3 ( x 2 + y 2 ) e sabemos que a raiz deve ser sempre positiva, a parte a que o enunciado se refere é a folha de cima, com z ≥ 0 (em vermelho). Tomamos a região que fica abaixo do cone porque a questão pede que z ≤ 3 ( x 2 + y 2 ) .

Como o enunciado pede a região contida no 1º octante ( x ≥ 0   e   y ≥ 0 ) , temos, então:

Passo 2

Como a região é limitada por uma esfera e um cone, vamos utilizar coordenadas esféricas:

x = ρ sen ⁡ φ cos ⁡ θ  

y = ρ sen ⁡ φ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 sen ⁡ φ

Passo 3

Precisamos escrever matematicamente a região de integração.

Pela própria figura, já vemos que 0 ≤ θ ≤ π / 2 (o que corresponde ao 1º octante). Os valores de ρ , nós vemos que variam desde a origem ρ = 0 até a superfície da esfera. Vamos, então, fazer a mudança de coordenadas na sua equação:

ρ cos ⁡ θ sen ⁡ φ 2 + ρ sen ⁡ φ sen ⁡ θ 2 + ρ cos ⁡ φ 2 = 4 ρ cos ⁡ φ

ρ 2 sen 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + ( ρ 2 sen 2 ⁡ φ )   s e n 2 θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 4 ρ cos ⁡ φ

ρ 2 sen 2 ⁡ φ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 4 ρ cos ⁡ φ

ρ = 4 cos ⁡ φ

Temos, então, 0 ≤ ρ ≤ 4 cos ⁡ φ

Falta, então, o intervalo de φ . Pela figura, vemos que esse ângulo varia desde a superfície do cone até o plano x y , onde temos φ = π / 2 . Vamos, então, escrever a equação desse cone em coordenadas esféricas:

ρ cos ⁡ φ = 3 ρ sen ⁡ φ cos ⁡ θ 2 + 3 ρ sen ⁡ φ sen ⁡ θ 2

ρ cos ⁡ φ = 3 ρ 2 sen 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + 3 ( ρ 2 sen 2 ⁡ φ ) sen 2 ⁡ θ

ρ cos ⁡ φ = 3 ρ 2 sen 2 ⁡ φ   = 3 ρ sen ⁡ φ

3 sen ⁡ φ = cos ⁡ φ   → tg ⁡ φ   = 3 / 3     →   φ = π / 6

Portanto, π / 6 ≤ φ ≤ π / 2 . A região será escrita como:

W = { ( ρ , θ , φ ) | 0 ≤ θ ≤ π / 2 ; π / 6 ≤ φ ≤ π / 2 ;   0 ≤ ρ ≤ 4 cos ⁡ φ }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada.

∫ π / 6 π / 2 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 4 cos ⁡ φ ( ρ cos ⁡ φ ) ρ 2 sen ⁡ φ   d ρ   d θ   d φ =

= ∫ π / 6 π / 2 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 4 cos ⁡ φ ρ 3 sen ⁡ φ cos ⁡ φ   d ρ   d θ   d φ =

Passo 5

Agora integraremos em relação a ρ :

= ∫ π / 6 π / 2 ∫ 0 π / 2 ρ 4 4 sen ⁡ φ cos ⁡ φ ρ = 0 ρ = 4 cos ⁡ φ   d θ   d φ =

= ∫ π / 6 π / 2 ∫ 0 π / 2 256 cos 4 ⁡ φ 4 sen ⁡ φ cos ⁡ φ   d θ   d φ =

= ∫ π / 6 π / 2 ∫ 0 π / 2 64 cos 5 ⁡ φ sen ⁡ φ   d θ   d φ =

Passo 6

Agora vamos integrar em relação a θ :

= 64 ∫ π / 6 π / 2 θ cos 5 ⁡ φ sen ⁡ φ θ = 0 θ = π / 2   d φ =

= 32 π ∫ π / 6 π / 2 cos 5 ⁡ φ sen ⁡ φ   d φ =

Passo 7

Vamos fazer agora a substituição cos 6 ⁡ φ = u , temos ( - 6 cos 5 ⁡ φ sen ⁡ φ d φ = d u ) e a integral passa a ser:

= 32 π ∫ π / 6 π / 2 - 1 6 d u =

cos ⁡ π / 2 = 0   → u = 0

cos ⁡ π / 6 = 3 2 → u = 27 64

= - 32 6 π - 27 64 =

Resposta

9 π 4

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