Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 15 – Seção 9 – Exercício 39
(Capítulo 15.9 – Exercício 39) Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
Passo 1
Salvee pessoal! Aqui vamos resolver uma integral tripla, transformando as coordenadas para coordenadas esféricas ok?
Precisamos primeiro escrever a integral em coordenadas esféricas e daí calculá-la.
Note que a variável (que é a do terceiro símbolo de integral) vai de (cone) até (parte de cima de uma esfera).
Para transformarmos para coordenadas esféricas, vamos lembrar que
Então boraaaa
Passo 2
Escrevendo as superfícies limitantes de z em coordenadas esféricas, começando pelo cone:
Lembrando que , temos
Então:
Agora para o limite superior, que é a esfera:
Então:
Passo 3
Além disso, como no plano o vai de até e varia no intervalo , temos que nos restringir apenas ao primeiro quadrante: .
Assim, usando essas conversões e as do passo anterior, a integral pode ser reescrita como:
Assim, deixando cada integral com sua respectiva variável:
Agora bora resolver!!
Passo 4
Temos 3 integrais pra resolver
A primeira integral:
Já a segunda, podemos fazer por substituição, porque repara que a gente tem uma função e a sua derivada na mesma integral :P
Então, fazendo , temos
Por fim, na terceira integral vamos escrever
Fazendo , temos
Assim,
Passo 5
Portanto, juntando os nossos resultados
Ufa, conseguimos!!