Considere a função tal que

onde

e a integral tripla

a) Esboce corretamente a região , indicando no desenho a sua fronteira.

b) Escreva na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas esféricas . (Neste item não é pedido o cálculo da integral.)

c) Escreva na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas cilíndricas . (Neste item não é pedido o cálculo da integral.)

d) Calcule .

Resolvendo a letra b) da questão:

Para descrever a região em coordenadas esféricas, faremos a seguinte substituição nas equações das superfícies:

Para a esfera:

Para o plano:

Como os valores de variam desde a superfície do plano até a da esfera, temos . Como a região faz uma volta completa em torno de , sabemos que . Para encontrar o intervalo de , vamos fazer a interseção entre as superfícies:

Como varia desde o eixo , onde até , temos:

Agora vamos escrever a função em coordenadas esféricas:

Reescrevendo a integral em coordenadas esféricas, temos:

Não se esqueça do fator de conversão

Resolvendo a letra c) da questão:

Para descrever a região em coordenadas cilíndricas, faremos a seguinte substituição nas equações das superfícies:

Para a esfera:

Temos, portanto . Pela imagem, vemos que , uma vez que o sólido está envolta do eixo de simetria .

A equação do plano não muda, continua . Como o valor máximo de é no topo da esfera, onde , temos . Assim, podemos descrever a região como:

Você também poderia ter escrito a região como tipo I, fazendo e , porém, encontraria uma integral mais complicada e teria que usar substituições trigonométricas para resolvê-la.

Vamos, agora, escrever a função em coordenadas cilíndricas:

Reescrevendo a integral em coordenadas cilíndricas, temos, então:

Não se esqueça do fator de conversão .

Resolvendo a letra d) da questão:

Faremos a substituição: