Calcule
Onde é a porção da bola unitária no primeiro octante
Passo 1
Vamos lá galera, resolver essa integral de forma direta não parece nada simples, vamos usar alguma coisa pra ajudar aqui.
Percebam que o termo aparece tanto no limite quanto dentro da integral, parece válido usarmos mudança para coordenadas esféricas, certo?
A região é o interior da esfera de raio , no primeiro octante.
Os limites dos ângulos e vão ter que ser
Como o raio da esfera é , os limites de são
Passo 2
Vamos substituir tudo na integral tripla, lembrando que com a mudança esférica podemos dizer que
Aqui vamos usar uma estratégia, mas tome muito cuidado, vou explicar quando podemos fazer isso, não é sempre!
Podemos “separar” as variáveis e calcular 3 integrais simples, assim olha
Por que podemos fazer isso? Nesse caso aqui, todos os limites são constantes, ou seja, depois que integrarmos em , não vai aparecer nenhum termo novo de nem de . Então não faz diferença em que ordem integramos as coisas!
É como se nenhum limite dependesse do outro, sacou?
Voltando pra integral, vamos calcular as três separadamente, ajuda a organizar as coisas
Pra resolver isso aí sabemos que
Com isso
A terceira integral vai ser a mais trabalhosa, dá uma olhada aqui.
Passo 3
A terceira integral é essa aqui
Vamos fazer uma mudança aqui que vai ajudar
Os limites de integração vão ser os mesmos, olha só
A integral vai ficar
Essa integral aí é chatinha, lembra como faz isso? Dá uma olhada
Considerando e , podemos aplicar a integral do produto
É isso aí então, agora é só aplicar os limites dados no enunciado
Passo 4
Juntando as três integrais