Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

Ver Teoria
Exercício 171234567891011121314151618192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Questão 3: Use coordenadas esféricas para calcular o volume do sólido limitado pelo cone

z = x 2 + y 2

E abaixo da esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 2

Passo 1

Cara! Calculo de volume a esse altura do campeonato pra gente é uma integral tripla de 1 :

∭ W   1   d V

Não temos uma boa visualização desse sólido W por isso sempre é bom começar por aqui. Mas relaxa, pois fazer isso nada mais é do que desenhar todas essas superfícies aí ao mesmo tempo! Quando fazemos isso, a superfície que ganhamos no espaço é esta daqui, oh:

Pegou? :D

Passo 2

Bem, estamos trabalhando dentro de uma esfera, então... Nada mais justo utilizarmos as coordenadas esféricas, onde

x = r sin ⁡ φ cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ φ sin ⁡ θ

z = r cos ⁡ φ                    

O jacobiano dessa mudança é

J = r 2 sin ⁡ φ              

Nunca devemos sair de uma mudança enquanto não encontramos onde essas novas variáveis estão variando. Bora?

Passo 3

Bem, vamos começar aqui falando da variação do mais fácil... Do próprio raio r : ora, sabemos que ele está saindo da origem e está indo até o raio máximo que é o raio da esfera vermelha:

0 ≤ r ≤ 2

Quanto ao ângulo θ , bem ele está dando uma volta completa, neh?! Então...

0 ≤ θ ≤ 2 π

Já o φ ... Bem, se você olhar mais atentamente o sólido

vai perceber que esse ângulo está iniciando em 0 ° e finalizando no cone:

0 ≤ φ ≤ c o n e

O C o n e   tem equação z = x 2 + y 2 . Epa! Estamos trabalhando com as coordenadas polares, então devemos substitui-las nessas equações, veja

z = x 2 + y 2                   →                           r cos ⁡ φ = r sin ⁡ φ cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ φ sin ⁡ θ 2                     →

      r cos ⁡ φ = r 2 sin 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ φ sin 2 ⁡ θ                         →

    r cos ⁡ φ = r 2 sin 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = r 2 sin 2 ⁡ φ

Como o seno é positivo e o raio também...

r cos ⁡ φ =   r sin ⁡ φ     →         1 ∙   r cos ⁡ φ =   r sin ⁡ φ

passando esse r cos  ⁡ φ pro outro lado dividindo...

r sin ⁡ φ r cos ⁡ φ = 1           →           tan ⁡ φ = 1

Nessas condições, φ = 45 ° = π 4

logo

0 ≤ φ ≤ π 4

Passo 4

Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!

∭ W   d V

Substituindo as variações e trocando para coordenadas cilíndricas não se esquecendo de multiplicar pelo J a c o b i a n o ...

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 0 2 J   d r d φ d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 0 2 r 2 sin ⁡ φ   d r d φ d θ

Resolvendo a integral de dentro...

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 0 2 r 2 sin ⁡ φ   d r d φ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 sin ⁡ φ ∫ 0 2 r 2   d r d φ d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 sin ⁡ φ r 3 3 0 2 d φ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 sin ⁡ φ 2 2 3 d φ d θ

2 2 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 sin ⁡ φ d φ d θ

depois a do meio

2 2 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 sin ⁡ φ d φ d θ =

2 2 3 ∫ 0 2 π - cos ⁡ φ 0 π 4 d θ =

2 2 3 ∫ 0 2 π - cos ⁡ π 4 - - cos ⁡ 0 d θ =

Em seguida a última, chegamos à...

2 2 3 ∫ 0 2 π - 2 2 + 1 d θ =

2 2 3 - 2 2 + 1 ⋅ ∫ 0 2 π d θ =

- 2 3 + 2 2 3 ⋅ 2 π =

4 π 3 2 - 1

Resposta

4 π 3 2 - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície com a equação dada. ρ cos ⁡ ϕ = 1
Descreva em palavras a superfície com a equação dada. ρ 2 - 3 ρ + 2 = 0
Use coordenadas esféricas.Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio a e seu centro.
Dentre as coordenadas cilíndricas e esféricas, utiliza a que lhe parecer mais apropriada.Um cilindro sólido possui densidade constante e raio de base a e altura h .Encontre o momento de inércia do cil
Identifique a superfície cuja equação é dada. ρ = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ