Coordenadas esféricas
Determine o volume do sólido que está acima do cone e abaixo da esfera .
Passo 1
Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Temos um cone centrado na origel e uma esfera deslocada:
Passo 2
Temos que
Como a região é limitada por uma esfera e um cone e o enunciado já nos dá as superfícies em coordenadas esféricas, vamos utilizar coordenadas esféricas:
Passo 3
Precisamos escrever matematicamente a região de integração.
Pela própria figura, já vemos que , pois o sólido está envolta do eixo ,fazendo uma volta completa. Os valores de , nós vemos que variam desde a origem até a superfície da esfera, que é dada por
Temos, então,
Note que, como a esfera não está centrada na origem, não temos para sua equação, pois a distância dos seus pontos à origem não é constante.
Falta, então, o intervalo de . Pela figura, vemos que esse ângulo varia desde o eixo , quando até a superfície do cone, que é dada por
Portanto, . A região será escrita como:
Passo 4
Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada.
Passo 5
Agora integraremos em relação a :
Passo 6
Agora, integramos em relação a :
Passo 7
Perceba que é a derivada de , então temos: