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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

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Enunciado

  1. Calcule ∭ W   1 x 2 + y 2 + z 2 d V , onde W é a região interior ao cone z = x 2 + y 2 , limitada superiormente pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 e inferiormente pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

Passo 1

Pow! Para começar exercícios como esse, sim, vamos começar como sempre é recomendado: desenhando o sólido W ;)

Bem, esse sólido está no interior do cone z = x 2 + y 2

só que está delimitado superiormente por uma esfera de raio 2 e inferiormente por outra esfera de raio 1 :

Passo 2

Bem, como estamos trabalhando dentro de uma esfera, nada mais legal que pensarmos em uma mudança para coordenadas esféricas.

onde vamos trocar

x = r sin ⁡ φ cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ φ sin ⁡ θ

z = r cos ⁡ φ                  

O jacobiano dessa mudança é

J = r 2 sin ⁡ φ

E uma equação que nos ajuda, tipo, muuuuuuito é a equação da própria esfera:

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

Nunca devemos sair de uma mudança enquanto não encontramos onde essas novas variáveis estão variando. Bora?

Passo 3

Vamos começar aqui falando do mais fácil, o raio! Bem, ele está variando da seguinte forma

R a i o   d a   e s f e r a   m e n o r ≤ r ≤ R a i o   d a   e s f e r a   m a i o r

1 ≤ r ≤ 2

Esse ângulo θ também é bem fácil, basta você observar que a esfera dá uma volta completa ao redor do eixo z , logo

0 ≤ θ ≤ 2 π

Quanto ao ângulo φ , bem... Ele é um pouquinho mais chato, mas não se preocupe que você vai pegar fácil também, vêm comigo separado

Passo 4

Bem, se você reparar novamente no sólido,

você vai notar que o ângulo φ está variando...

0 ≤ φ ≤ C o n e   a z u l

O cone azul tem essa equação: z = x 2 + y 2 . Epa! Estamos trabalhando com as coordenadas polares, então devemos substitui-las nessas equações, veja

z = x 2 + y 2                 →                         r cos ⁡ φ = r sin ⁡ φ cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ φ sin ⁡ θ 2                     →

      r cos ⁡ φ = r 2 sin 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ φ sin 2 ⁡ θ                         →

    r cos ⁡ φ = r 2 sin 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = r 2 sin 2 ⁡ φ

Como o seno é positivo e o raio também...

r cos ⁡ φ = r sin ⁡ φ     →         1 ∙   r cos ⁡ φ = r sin ⁡ φ

passando esse r cos  ⁡ φ pro outro lado dividindo...

r sin ⁡ φ r cos ⁡ φ = 1           →           tan ⁡ φ = 1

Nessas condições, φ = 45 ° = π 4 , logo

0 ≤ φ ≤ π 4

Passo 5

Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!

∭ W   1 x 2 + y 2 + z 2   d V

Lembre-se de substituir pelas coordenadas cilíndricas e não deixar de multiplicar pelo J a c o b i a n o ;)

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 1 2 1 r 2   J   d r d φ d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 1 2 1 r 2   r 2 sin ⁡ φ   d r d φ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 1 2   sin ⁡ φ   d r d φ d θ

Integrando o de dentro e substituindo os limites de integração

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 1 2   sin ⁡ φ   d r d φ d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 sin ⁡ φ r 1 2 d φ d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 sin ⁡ φ d φ d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 sin ⁡ φ d φ d θ = ∫ 0 2 π - cos ⁡ φ 0 π 4 d θ =

∫ 0 2 π - cos ⁡ π 4 - - cos ⁡ 0 d θ =

1 - 2 2 ∫ 0 2 π d θ =

π 2 - 2

Resposta

π 2 - 2

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