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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

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Enunciado

Calcule

J = ∭ W   z 2   d x d y d z

Onde W = { ( x , y , z ) ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1 ,   x 2 + y 2 + z - 2 2 ≤ 4   e   z ≥ x 2 + y 2 }

Passo 1

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido.

Temos uma esfera de raio ρ = 1 centrada na origem, em azul, e outra de raio 2 centrada em ( 0,0 , 2 ) , em verde. Temos a folha superior de um cone (pois a raiz deve ser positiva).

Queremos a região que está fora da esfera de raio 1 (pois o enunciado pede x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1 ), dentro da esfera de raio 2 (pois temos x 2 + y 2 + z - 2 2 ≤ 4 ) e, ao mesmo tempo, acima do cone ( z ≥ x 2 + y 2 ). Fazendo esses cortes, teremos então:

Passo 2

Como a região é limitada por duas esferas e um cone, vamos utilizar coordenadas esféricas:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 s e n   φ

Passo 3

Precisamos agora escrever matematicamente a região de integração.

Pela própria figura, já vemos que 0 ≤ θ ≤ 2 π (uma volta completa em torno de z ). Os valores de ρ , nós vemos que variam desde a superfície da esfera menor até a da esfera maior. A esfera menor, como está centrada na origem, pode ser escrita como ρ = 1 . Precisamos, então, fazer a mudança de coordenadas na equação da esfera maior:

ρ   s e n   φ   c o s   θ 2 + ρ   s e n   φ   s e n   θ 2 + ρ cos ⁡ φ - 2 2 = 4

ρ 2 s e n 2 φ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 s e n 2 φ s e n 2 θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ - 4 ρ cos ⁡ φ + 4 = 4

ρ 2 s e n 2 φ   + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 4 ρ cos ⁡ φ

ρ = 4 cos ⁡ φ

Temos, então 1 ≤ ρ ≤ 4 cos ⁡ φ .

Falta agora o intervalo de φ . Pela figura, vemos que esse ângulo varia desde o eixo z , onde temos φ = 0 até a superfície do cone. Vamos, então, escrever a equação desse cone em coordenadas esféricas:

ρ cos ⁡ φ = ρ   s e n   φ   c o s   θ 2 + ρ   s e n   φ   s e n   θ 2

ρ cos ⁡ φ = ρ 2 s e n 2 φ cos 2 ⁡ θ + ( ρ 2 s e n 2 φ )   s e n 2 θ

ρ cos ⁡ φ = ρ 2 s e n 2 φ   = ρ   s e n   φ

s e n   φ = cos ⁡ φ   → t g   φ = 1     →   φ = π / 4

Portanto, 0 ≤ φ ≤ π / 4 . A região será escrita como:

W = { ( ρ , θ , φ ) | 0 ≤ θ ≤ 2 π ; 0 ≤ φ ≤ π / 4 ;   1 ≤ ρ ≤ 4 cos ⁡ φ }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 π ∫ 1 4 cos ⁡ φ ρ cos ⁡ φ 2 ρ 2 s e n   φ   d ρ   d θ   d φ =

= ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 π ∫ 1 4 cos ⁡ φ ρ 4 cos 2 ⁡ φ s e n   φ   d ρ   d θ   d φ =

Passo 5

Agora integraremos em relação a ρ :

= ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 π ρ 5 5 cos 2 ⁡ φ s e n   φ ρ = 1 ρ = 4 cos ⁡ φ   d θ   d φ =

= 1 5 ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 π 4 5 cos 7 ⁡ φ s e n   φ - cos 2 ⁡ φ s e n φ   d θ   d φ =

Passo 6

Agora vamos integrar em relação a θ :

= 1 5 ∫ 0 π / 4 ( 4 5 cos 7 ⁡ φ s e n   φ - cos 2 ⁡ φ s e n φ ) θ θ = 0 θ = 2 π   d φ =

= 2 π 5 ∫ 0 π / 4 4 5 cos 7 ⁡ φ s e n   φ - cos 2 ⁡ φ s e n φ   d φ =

= 2 π 5 ∫ 0 π / 4 4 5 cos 7 ⁡ φ s e n   φ   d φ - ∫ 0 π / 4 cos 2 ⁡ φ s e n φ   d φ =

Passo 7

Vamos calcular separadamente cada integral. Para a 1ª, faremos:

cos 8 ⁡ φ = u

- 8 s e n   φ cos 7 ⁡ φ d φ = d u

cos ⁡ 0 = 1   → u = 1

cos ⁡ π / 4 = 2 2 → u = 1 / 16

∫ 0 π / 4 4 5 cos 7 ⁡ φ s e n   φ   d φ = 4 5 ∫ 1 1 / 16 - 1 8 d u =

= - 128 u 1 1 / 16 = - 8 - 128 = 120

Passo 8

Para a segunda, faremos:

cos 3 ⁡ φ = v

- 3 s e n   φ cos 2 ⁡ φ d φ = d v

cos ⁡ 0 = 1   → v = 1

cos ⁡ π / 4 = 2 2 → v = 2 4

∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ φ s e n φ   d φ = ∫ 1 2 4 - 1 3 d v =

= - v 3 1 2 / 4 = - 1 3 2 4 - 1 = 1 3 - 2 12

Passo 9

Substituindo os valores, encontrados, temos:

2 π 5 120 - 1 3 - 2 12 =

Resposta

718 π 15 + 2 π 30

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