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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 15 – Seção 9 – Exercício 41

(Capítulo 15.9 – Exercício 41) Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.

∫ - 2 2 ∫ - 4 2 - y 2 4 2 - y 2 ∫ - 4 2 - y 2 - x 2 4 2 - y 2 - x 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 d z d x d y

Passo 1

Salvee pessoal! Aqui vamos resolver uma integral tripla, transformando as coordenadas para coordenadas esféricas ok?

O que nós temos aqui é uma esfera sólida de raio 2 centrada na origem, certo? Sendo assim os limites de integração vão ser:

0 ≤ ρ ≤ 2 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ ϕ ≤ π

E quanto ao integrando? Bom, sabemos que as relações de transformação e coordenadas esféricas e cartesianas são:

x = ρ s e n ϕ c o s θ y = ρ s e n ϕ s e n θ z = ρ c o s ϕ

Passo 2

Sendo assim o integrando fica desse jeito saca só:

x 2 + y 2 + z 2 = ρ s e n ϕ c o s θ 2 + ρ s e n ϕ s e n θ 2 + ρ c o s ϕ 2

ρ 2 s e n 2 ϕ s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ + ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ = ρ 2 s e n 2 ϕ + ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ = ρ 2 s e n 2 ϕ + cos 2 ⁡ ϕ = ρ 2

E se fizermos x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 ? Daí vamos ter os dois lados sendo elevados na 3 / 2 :

x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 = ρ 2 3 / 2 = ρ 3

E o d V ? Em esféricas temos d V = ρ 2 s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ ! Agora é só substituir tudo isso na integral e resolver! Bora lá?

Passo 3

∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 2 ρ 3 . ρ 2 s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 2 ρ 5 . s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Agora vamos fazer a integral em ρ :

∫ 0 2 π ∫ 0 π ρ 6 6 0 2 s e n ϕ d ϕ   d θ = 2 6 6 ∫ 0 2 π ∫ 0 π s e n ϕ d ϕ   d θ

Passo 4

Agora vou fazer as integrações nos ângulos ϕ e θ :

2 6 6 ∫ 0 2 π ∫ 0 π s e n ϕ d ϕ   d θ = 2 6 6 ∫ 0 2 π - c o s ϕ 0 π d θ = 2 6 6 . - - 1 - - 1 ∫ 0 2 π d θ

= 2 7 6 ∫ 0 2 π d θ = 2 7 6 . θ 0 2 π = 2 7 6 . 2 π = 2 8 π 2.3 = 2 7 π 3 = 128 π 3  

Beleza? Vamos pra próxima?

Resposta

128 π 3

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