USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 23a
Calcule as integrais:
(a) , onde é a bola unitária .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a integral tripla sobre a região , que é a bola unitária .
Então, temos uma esfera de raio menor ou igual a e nada mais justo que usar as coordenadas esféricas pra nos ajudar, certo? Elas são dadas pelas relações:
No caso da esfera, ela vai ser escrita por:
Onde é o raio da esfera, então para a bola , vamos ter . Esses vão ser os limites de integração da integral tripla que vamos calcular.
Vamos lá!
Passo 2
Como a gente já determinou nossos limites de integração no passo anterior, vamos agora dar uma olhadinha no nosso integrando, , e colocar ele em coordenadas esféricas:
Elevando ao quadrado:
Colocando em evidência e agrupando os termos:
Usando a identidade trigonométrica , temos:
E a gente pode aplicar a identidade novamente, . Então, temos:
Passo 3
Agora podemos montar nossa integral:
Usando , o integrando que encontramos no passo anterior e o Jacobiano (não podemos esquecer dele quando fazemos uma transformação de coordenadas, tá?). Fica assim:
Integrando primeiro em relação a :
Aplicando os limites de integração em :
Colocando a constante do lado de fora da integral e integrando em relação a , temos:
Aplicando os limites de integração em :
Integrando em relação a :
Aplicando os limites:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉