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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

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Enunciado

Considere o sólido S determinado pelas desigualdades x 2 + y 2 + z - 1 2 ≤ 1 e z ≥ x 2 + y 2 . Seja f uma função contínua em R 3 e

V = ∬ S f x , y , z d x d y d z

É corrento afirmar que

V = ∫ 0 2 π ∫ a b ∫ 0 2 cos ⁡ φ f ρ cos ⁡ θ s e n φ ,   ρ   s e n φ c o s θ ,   ρ c o s φ K ρ , θ , φ d ρ   d φ   d θ ,

Para toda função contínua f , se a = ? ,   b = ? e   K ρ , θ , φ = ? .

Passo 1

Bom, logo de cara, a gente já nota que K ρ , θ , φ vai ser justamente nosso Jacobiano.

Percebe-se ainda que a f ρ , θ , φ =   f ρ cos ⁡ θ s e n φ ,   ρ   s e n φ c o s θ ,   ρ c o s φ ,   ou seja, coordenadas esféricas.

Para calcularmos o jacobiano nas coordenadas esféricas fazemos:

Então:

K ρ , θ , φ = J = ρ 2 s e n φ

Passo 2

Para descobrirmos os valores de a e b temos que descobrir o intervalo de variação de φ ,   para isso vamos substituir os valores das coordenas esféricas nas desigualdades dadas no enunciado.

1 )   x 2 + y 2 + z - 1 2   ≤ 1

2 )   z ≥ x 2 + y 2

Trabalhando primeiro com 1)

x 2 + y 2 + z - 1 2   ≤ 1

x 2 + y 2 + z 2 - 2 z + 1 - 1 ≤ 0

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z

ρ 2 cos 2 ⁡ θ s e n 2 φ + ρ 2   s e n 2 φ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ ≤ 2   ρ   c o s φ

ρ 2 ≤ 2 ρ c o s φ

ρ ≤ 2   c o s φ

Passo 3

Trabalhando agora com 2)

z ≥ x 2 + y 2

ρ 2 cos 2 ⁡ φ ≥   ρ 2 s e n 2 φ cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ

c o s φ = s e n φ

φ = 45 ° = π 4

Passo 4

Montando a integral ficamos então com:

V = ∫ 0 2 π ∫ a b ∫ 0 2 cos ⁡ φ f ρ cos ⁡ θ s e n φ ,   ρ   s e n φ c o s θ ,   ρ c o s φ K ρ , θ , φ d ρ   d φ   d θ

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 0 2 cos ⁡ φ f ρ cos ⁡ θ s e n φ ,   ρ   s e n φ c o s θ ,   ρ c o s φ ρ 2   s e n   φ   d ρ   d φ   d θ

Logo:

Resposta

a = 0 ,   b = π 4   e   K ρ , θ , φ = ρ 2   s e n   φ  

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