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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - UFMG - Lista 1 - Integrais Duplas e Triplas, Questão 26

Seja E = x , y , z : - 2 ≤ y ≤ 2 ,   - 4 - y 2 ≤ x ≤ 0 ,   0 ≤ z ≤ 4 - x 2 - y 2 . Calcule:

E = ∭ z 2   d V

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos encontrar o resultado da integral tripla

E = ∭ z 2   d V

Dado que o intervalo de x é dado por:

- 4 - y 2 ≤ x ≤ 0

O de y é dado por:

- 2 ≤ y ≤ 2

E o de z é dado por:

0 ≤ z ≤ 4 - x 2 - y 2

Além disso, d V = d z   d y   d x .

Ou seja, queremos saber o resultado da seguinte integral:

∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 0 ∫ 0 4 - x 2 - y 2 z 2   d z   d x   d y

Não entendeu? Vamos juntos!!

Passo 2

Bom... resolvendo a primeira integral, temos:

∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 0 ∫ 0 4 - x 2 - y 2 z 2   d z   d x   d y = ∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 0 1 3 4 - x 2 - y 2 3 / 2   d x   d y

Passo 3

Aplicando as coordenadas esféricas, temos:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

E

d x   d y = r   d r   d θ

Passo 4

Para os limites de integração, temos:

0 < x < 2

π 2 < θ < 3 π 2

Assim, temos a integral:

∫ π 2 3 π 2 ∫ 0 2 1 3 4 - r 2 3 / 2 r   d r   d θ  

Passo 5

Resolvendo a integral, temos:

∫ π 2 3 π 2 ∫ 0 2 1 3 4 - r 2 3 2 r   d r   d θ   ∴

∫ π 2 3 π 2 - 1 6 * 2 5 4 - r 2 5 2 2 0 d θ ∴

∫ π 2 3 π 2 32 15 d θ ∴

= 32 π 15

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

= 32 π 15

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