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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

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Enunciado

UFMG – Cálculo 3 – Lista 1 – Questão 12

Utilize coordenadas esféricas para calcular a integral

∭ E 1 x 2 + y 2 + z 2 d V

Em que E é o sólido limitado acima pelo cone z = 3 ( x 2 + y 2 ) e abaixo pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = z

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa integral iterada

∭ E 1 x 2 + y 2 + z 2 d V

Mas precisamos integrar em coordenadas esféricas! Lembrando que o diferencial nessas coordenadas é

d V = ρ 2 s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

E a região? É acima pelo cone

z = 3 ( x 2 + y 2 ) = 3 ( ρ 2 s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 s e n 2 ϕ sen 2 ⁡ θ )

z = 3 ρ 2 s e n 2 ϕ = 3   ρ   s e n ϕ

ρ c o s ϕ = 3   ρ   s e n ϕ

tan ⁡ ϕ = 1 3 → ϕ = π 6

E abaixo pela esfera

x 2 + y 2 + z 2 = z

ρ 2 s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 s e n 2 ϕ sen 2 ⁡ θ + ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ = ρ   c o s ϕ

ρ 2 = ρ   c o s ϕ

ρ = c o s ϕ

E os ângulos?

π 6 ≤ ϕ ≤ π 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

É a volta completa! Beleza?

Então a ideia é usar as coordenadas esféricas e integrar esse negócio!

não vamos esquecer de trocar as variáveis do integrando também!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A integral que precisamos resolver é essa

∭ E 1 x 2 + y 2 + z 2 d V

A região tem os seguintes limites

0 ≤ ρ ≤ c o s ϕ

π 6 ≤ ϕ ≤ π 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

O integrando fica

1 x 2 + y 2 + z 2 = 1 ρ 2 s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 s e n 2 ϕ sen 2 ⁡ θ + ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ

= 1 ρ 2

E lembrando que o diferencial de volume em esféricas é

d V = ρ 2 s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Agora vamos juntar tudo isso

∫ 0 2 π ∫ π 6 π 2 ∫ 0 c o s ϕ 1 ρ 2 ρ 2 s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ = ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 2 ∫ 0 cos ⁡ ϕ s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Tranquilo? Bora resolver?

Passo 3

Resolvendo primeiro em ρ :

∫ 0 2 π ∫ π 6 π 2 ∫ 0 cos ⁡ ϕ s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ = ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 2 s e n ϕ   ρ 0 cos ⁡ ϕ d ϕ   d θ

= ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 2 s e n ϕ   c o s ϕ d ϕ   d θ

Beleza?

Agora nossa missão é resolver essa integral em ϕ !

Passo 4

Nossa integral é essa aqui

∫ 0 2 π ∫ π 6 π 2 s e n ϕ   c o s ϕ d ϕ   d θ

Vamos resolver por substituição simples usando u = s e n ϕ . Integrando temos

∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 s e n ϕ c o s ϕ d ϕ d θ = ∫ 0 2 π s e n 2 ϕ 2 π 6 π 2 d θ

E agora precisamos aplicar os limites de integração

= 1 2 ∫ 0 2 π 1 2 - 1 2 2 d θ = 3 8 ∫ 0 2 π   d θ

Agora por fim, falta só fazer a integração em θ :

= 3 8 θ 0 2 π = 3 8 . 2 π = 3 π 4

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

3 π 4

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