Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

Ver Teoria
Exercício 741234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727375767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFMG – Cálculo 3 – Lista 1 – Questão 13

Utilize coordenadas esféricas para calcular a integral

∭ E x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 d V

Em que E é o sólido limitado pelo cone z = 3 ( x 2 + y 2 ) e pelo paraboloide z = x 2 + y 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa integral iterada

∭ E x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 d V

Mas precisamos integrar em coordenadas esféricas! Lembrando que o diferencial nessas coordenadas é

d V = ρ 2 s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

E a região? É acima pelo cone

z = 3 ( x 2 + y 2 ) = 3 ( ρ 2 s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 s e n 2 ϕ sen 2 ⁡ θ )

z = 3 ρ 2 s e n 2 ϕ = 3   ρ   s e n ϕ

ρ c o s ϕ = 3   ρ   s e n ϕ

tan ⁡ ϕ = 1 3 → ϕ = π 6

E abaixo pelo paraboloide

x 2 + y 2 = z

ρ 2 s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 s e n 2 ϕ sen 2 ⁡ θ = ρ   c o s ϕ

ρ 2 s e n 2 ϕ = ρ   c o s ϕ

ρ = c o s ϕ s e n 2 ϕ

E os ângulos?

π 6 ≤ ϕ ≤ π 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

É a volta completa! Beleza?

Então a ideia é usar as coordenadas esféricas e integrar esse negócio!

não vamos esquecer de trocar as variáveis do integrando também!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A integral que precisamos resolver é essa

∭ E x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 d V

A região tem os seguintes limites

0 ≤ ρ ≤ c o s ϕ s e n 2 ϕ

π 6 ≤ ϕ ≤ π 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

O integrando fica

x 2 x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ ρ 2 s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 s e n 2 ϕ sen 2 ⁡ θ + ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ 2

= ρ 2 s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ ρ 4 = 1 ρ 2 s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ

E lembrando que o diferencial de volume em esféricas é

d V = ρ 2 s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Agora vamos juntar tudo isso

∫ 0 2 π ∫ π 6 π 2 ∫ 0 c o s ϕ s e n 2 ϕ 1 ρ 2 s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ s e n ϕ   ρ 2   d ρ   d ϕ   d θ = ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 2 ∫ 0 c o s ϕ s e n 2 ϕ s e n 3 ϕ cos 2 ⁡ θ   d ρ   d ϕ   d θ

Tranquilo? Bora resolver?

Passo 3

Resolvendo primeiro em ρ :

∫ 0 2 π ∫ π 6 π 2 ∫ 0 c o s ϕ s e n 2 ϕ s e n 3 ϕ cos 2 ⁡ θ   d ρ   d ϕ   d θ = ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 2 s e n 3 ϕ cos 2 ⁡ θ   ρ 0 c o s ϕ s e n 2 ϕ d ϕ   d θ

= ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 2 s e n 3 ϕ cos 2 ⁡ θ . c o s ϕ s e n 2 ϕ d ϕ   d θ = ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ d θ ∫ π 6 π 2 s e n   ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ

Beleza?

Agora nossa missão é resolver essa integral em ϕ !

Passo 4

Nossa integral é essa aqui

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ d θ ∫ π 6 π 2 s e n   ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ

Vamos resolver por substituição simples usando u = s e n ϕ . Integrando temos

∫ 0 2 π s e n 2 ϕ 2 π 6 π 2 cos 2 ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ 0 2 π 1 - 1 2 2 cos 2 ⁡ θ d θ

E agora precisamos aplicar os limites de integração

= 1 2 3 4   ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ d θ = 3 8 ∫ 0 2 π   1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

Agora por fim, falta só fazer a integração em θ :

= 3 8 θ 2 + s e n 2 θ 2 0 2 π = 3 8 . 2 π 2 = 3 π 8

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

3 π 8

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície com a equação dada. ρ cos ⁡ ϕ = 1
Descreva em palavras a superfície com a equação dada. ρ 2 - 3 ρ + 2 = 0
Use coordenadas esféricas.Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio a e seu centro.
Dentre as coordenadas cilíndricas e esféricas, utiliza a que lhe parecer mais apropriada.Um cilindro sólido possui densidade constante e raio de base a e altura h .Encontre o momento de inércia do cil
Identifique a superfície cuja equação é dada. ρ = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ