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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

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Enunciado

Seja o volume do sólido W comum às esferas x 2 + y 2 + z 2 = 1 e x 2 + y 2 + z 2 = 2 z . Expresse (sem calcular) o volume de W em coordenadas esféricas na ordem d ρ d ϕ d θ .

Passo 1

Vamos, então, fazer um esboço das esferas para entender melhor o que está sendo pedido:

A parte que é interna às duas esferas vai ficar entre as duas calotas. Olha como fica a região W

Passo 2

Vamos agora usar as coordenadas esféricas que ele pediu.

x = ρ sen ⁡ φ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ φ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 sen ⁡ φ

Passo 3

Precisamos escrever a região de integração.

Podemos perceber, pela figura, que 0 ≤ θ ≤ 2 π , pois as esferas estão envoltas no eixo z fazendo uma volta completa.

Temos um probleminha aqui. O valor de ρ depende de qual esfera estamos pegando. Então vamos separa essa integral em duas partes. Uma parte vai ser de uma figura como se fosse uma casquinha de sorvete, nessa o ρ vai variar de 0 até 1 que é o raio da esfera.

Para ver o valor de φ vamos ver onde as esferas se cruzam.

x 2 + y 2 + z 2 = 1

x 2 + y 2 + z 2 = 2 z

Vamos ter

2 z = 1

z = 1 2

Como fica a equação onde as esferas se cruzam.

x 2 + y 2 + 1 2 2 = 1

x 2 + y 2 = 1 - 1 4

x 2 + y 2 = 3 4

Nesse ponto de encontro vamos ter ρ = 1

Substituindo os valores das coordenadas esféricas vamos ter

1 sen ⁡ φ cos ⁡ θ 2 + 1 sen ⁡ φ sen ⁡ θ 2 = 3 4

sen 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ φ sen 2 ⁡ θ = 3 4

sen 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 3 4

sen 2 ⁡ φ = 3 4

sen ⁡ φ = 3 2 ⇒ φ = π 3

O valor de φ vai ser do eixo z até esse ângulo que achamos, ou seja,

0 ≤ φ ≤ π 3

Vamos ter

W 1 = ρ , φ , θ 0 ≤ ρ ≤ 1 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π , 0 ≤ φ ≤ π 3

Passo 4

Vamos achar a parte que falta da esfera de baixo. Os intervalos de integração vão ser iguais em θ pelo mesmo motivo da outra parte.

Dessa vez ρ vai de 0 até essa esfera, vamos substituir os valores das coordenadas esféricas para ver que valor é esse.

x 2 + y 2 + z 2 = 2 z

ρ sen ⁡ φ cos ⁡ θ 2 + ρ sen ⁡ φ sen ⁡ θ 2 + ρ cos ⁡ φ 2 = 2 ρ cos ⁡ φ

ρ 2 sen 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 sen 2 ⁡ φ sen 2 ⁡ θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 2 ρ cos ⁡ φ

ρ 2 sen 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 2 ρ cos ⁡ φ

ρ 2 sen 2 ⁡ φ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 2 ρ cos ⁡ φ

ρ 2 sen 2 ⁡ φ + cos 2 ⁡ φ = 2 ρ cos ⁡ φ

ρ 2 = 2 ρ cos ⁡ φ

ρ = 2 cos ⁡ φ

Então vamos ter

0 ≤ ρ ≤ 2 cos ⁡ φ

O valor de φ vai daquele ângulo que achamos ali em cima, até o plano x y , ou seja,

π 3 ≤ φ ≤ π 2

W 2 = ρ , φ , θ 0 ≤ ρ ≤ 2 cos ⁡ φ ,   0 ≤ θ ≤ 2 π , π 3 ≤ φ ≤ π 2

Passo 5

A integral vai ser a soma dessas duas regiões, ou seja, vai ficar assim

V = ∭ W d x d y d z = ∭ W 1 d x d y d z + ∭ W 2 d x d y d z

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 ∫ 0 1 ρ 2 sen ⁡ φ d ρ d φ d θ + ∫ 0 2 π ∫ π / 3 π / 2 ∫ 0 2 cos ⁡ φ ρ 2 sen ⁡ φ d ρ d φ d θ

Resposta

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 ∫ 0 1 ρ 2 sen ⁡ φ d ρ d φ d θ + ∫ 0 2 π ∫ π / 3 π / 2 ∫ 0 2 cos ⁡ φ ρ 2 sen ⁡ φ d ρ d φ d θ

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