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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

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Enunciado

  1. Considere a integral iterada

I = ∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2 ∫ 0 4 - x 2 - y 2 z x 2 + y 2   d z d y d x

  1. Expresse I em coordenadas esféricas e calcule o seu valor.

Passo 1

Bem, infelizmente, para a nossa alegria o sólido não veio já desenhadinho pra gente, e esse será o nosso primeiro trabalho aqui: enxergar o sólido.

Para isso, recomendo retirar algumas informações diretamente da integral que são os próprios intervalos:

0 ≤ z ≤ 4 - x 2 - y 2

0 ≤ y ≤ 4 - x 2                  

0 ≤ x ≤ 2                                            

Pow! O fato de esses três intervalos estarem maiores ou iguais que 0 , indica que estamos no primeiro octante, certo? Mas agora repare que esses intervalos meio que se encaixam uns nos outros, não parece?

Quando isso acontece, pode ser um indício que você está trabalhando com um pedacinho de um único sólido. Veja!

Peguemos a igualdade maior vinda da primeira inequação:

z = 4 - x 2 - y 2                         ⇒ E l e v a n d o   a o   q u a d r a d o                   z 2 = 4 - x 2 - y 2               ⇒

z 2 + x 2 + y 2 = 4

Epa! Uma esfera de raio 2 !

Agora veja como esse sólido super satisfaz as outros intervalos! Na intercessão da esfera com o plano z = 0 , ela faz justamente a projeção desse semicírculo

que descrevendo dá exatamente os outros dois intervalos, sacou?

Passo 2

Beleza, já sabemos qual é o nosso sólido, agora só nos falta descrever como pede o enunciado, usando as coordenadas esféricas!

x = r sin ⁡ φ cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ φ sin ⁡ θ

z = r cos ⁡ φ                    

O jacobiano dessa mudança é

J = r 2 sin ⁡ φ              

Nunca devemos sair de uma mudança enquanto não encontramos onde essas novas variáveis estão variando. Bora?

Passo 3

Bem, vamos começar aqui falando da variação do mais fácil... do pr��prio raio r : ora, sabemos que ele está saindo da origem e está indo até o raio máximo que é o raio da esfera vermelha:

0 ≤ r ≤ 2

Quanto ao ângulo θ , bem ele está dando um quarto de volta, neh?

0 ≤ θ ≤ π 2

Já o φ ... Bem, ele também dá um quarto de volta lá de cima até aqui em baixo, logo...

0 ≤ φ ≤ π 2

Passo 4

Antes de voltar para a integral e matar o nosso problema, precisamos resolver um negocio antes: a função que estamos integrando! Devemos passa-la para as novas coordenadas, veja

z x 2 + y 2 =

r cos ⁡ φ r sin ⁡ φ cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ φ sin ⁡ θ 2 =

simplificando...

r cos ⁡ φ r 2 sin 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ φ sin 2 ⁡ θ =

r cos ⁡ φ r 2 sin 2 ⁡ φ =

Como o seno é positivo e o raio também...

r 2 cos ⁡ φ sin ⁡ φ

Não se esqueça de multiplicar pelo J a c o b i a n o !

r 2 cos ⁡ φ sin ⁡ φ ∙ J =

r 4 cos ⁡ φ sin 2 ⁡ φ

Passo 5

Bem, agora é só remontar a integral só que com as novas variáveis e seus intervalos

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ π 2

0 ≤ φ ≤ π 2

I = ∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2 ∫ 0 4 - x 2 - y 2 z x 2 + y 2   d z d y d x =

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 r 4 cos ⁡ φ sin 2 ⁡ φ   d r d φ d θ =

Agora é só meter bronca e calcular como estamos acostumados, bora?

Passo 6

Calculando primeiro a integral de dentro...

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 r 4 cos ⁡ φ sin 2 ⁡ φ   d r d φ d θ =

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ φ sin 2 ⁡ φ ∫ 0 2 r 4   d r d φ d θ =

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ φ sin 2 ⁡ φ r 5 5 0 2 d φ d θ =

e substituindo os valores chegamos a...

32 5 ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ φ sin 2 ⁡ φ d φ d θ =

32 5 ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ φ sin 2 ⁡ φ d φ d θ =

Realizando uma mudança simples, integramos a do meio

sin ⁡ φ = t       →           d t = cos ⁡ φ d φ

(troque também os limites de integração)

φ = 0           →               t = sin ⁡ 0 = 0

φ = π 2           →               t = sin ⁡ π 2 = 1

Retornando a integral, substituindo e calculando, concluímos que

32 5 ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ φ sin 2 ⁡ φ d φ d θ = 32 5 ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 t 2   d t d θ =

32 5 ∫ 0 π 2 t 3 3 0 1 d θ =

32 15 ∫ 0 π 2 d θ = 16 π 15

Resposta

I = ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 r 4 cos ⁡ φ sin 2 ⁡ φ   d r d φ d θ = 16 π 15

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