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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

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Enunciado

Coordenadas Esféricas

Considere f x , y , z = y 2 . Seja a região espacial

U = x , y , z ∈ R 3 1 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ,   x ≥ 0 , y ≥ 0

c) Calcule

I = ∭ U f x , y , z d V

Pelo método que preferir.

Passo 1

c)

Ele quer achar I

I = ∭ U f x , y , z d x d y d z

Como temos um monte de esferas aqui, vamos usar coordenadas esféricas, vamos ter

x = ρ sen ⁡ φ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ φ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 sen ⁡ φ

Passo 2

Aqui estamos pegando só a parte de cima e a parte de baixo da esfera então φ vai de 0 à π .

O valor de θ entretanto, vai ser restrito, quando travamos a esfera com x ≥ 0 e y ≥ 0 isso faz com que θ varie de 0 à π / 2

  θ ∈ 0 , π 2

φ 0 , π

Vamos agora achar ρ , ele vai desde o seu valor na esfera menor até o valor na esfera maior, que nesse caso são os raios das esferas, então

ρ ∈ 1,2

Passo 3

A integral vai ficar

I = ∫ 0 π 2 ∫ 0 π ∫ 1 2 ρ sen ⁡ φ sen ⁡ θ 2 ρ 2 sen ⁡ φ d ρ d φ d θ

Resolvendo essa integral vamos ter

I = ∫ 0 π 2 ∫ 0 π ∫ 1 2 ρ 2 sen 2 ⁡ φ sen 2 ⁡ θ ρ 2 sen ⁡ φ d ρ d φ d θ

I = ∫ 0 π 2 ∫ 0 π ∫ 1 2 ρ 4 sen 3 ⁡ φ sen 2 ⁡ θ d ρ d φ d θ

I = ∫ 0 π 2 ∫ 0 π sen 3 ⁡ φ sen 2 ⁡ θ ρ 5 5 1 2 d φ d θ

I = ∫ 0 π 2 ∫ 0 π sen 3 ⁡ φ sen 2 ⁡ θ 2 5 5 - 1 5 5 d φ d θ

I = ∫ 0 π 2 ∫ 0 π sen 3 ⁡ φ sen 2 ⁡ θ 31 5 d φ d θ

I = 31 5 ∫ 0 π 2 ∫ 0 π sen 3 ⁡ φ sen 2 ⁡ θ d φ d θ

Essa integral de sen 3 ⁡ φ é mais complicadinha, vamos resolver ela separado

Passo 4

∫ sen 3 ⁡ φ d φ

Aqui podemos separa esse sen 3 ⁡ φ , fazendo

∫ sen 2 ⁡ φ sen ⁡ φ d φ

Aqui temos que

sen 2 ⁡ φ = 1 - cos 2 ⁡ φ

Então

∫ 1 - cos 2 ⁡ φ sen ⁡ φ d φ

Vamos fazer a substituição

cos ⁡ φ = u

Isso porque

d u = - sen ⁡ φ d φ

Substituindo isso na integral

∫ 1 - u 2 - d u =

∫ u 2 - 1 d u =

u 3 3 - u

Voltando para cos ⁡ φ

cos 3 ⁡ φ 3 - cos ⁡ φ

Vamos voltar para a integral de I

Passo 5

I = 31 5 ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ θ cos 3 ⁡ φ 3 - cos ⁡ φ 0 π d θ

I = 31 5 ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ θ cos 3 ⁡ π 3 - cos ⁡ π - cos 3 ⁡ 0 3 - cos ⁡ 0 d θ

I = 31 5 ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ θ - 1 3 + 1 - 1 3 - 1 d θ

I = 31 5 ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ θ 2 3 - - 2 3 d θ

I = 31 5 ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ θ 4 3   d θ

I = 31 5 ∙ 4 3 ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ θ   d θ

Nessa integral podemos fazer

sen 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

Ela vai ficar

I = 31 5 ∙ 4 3 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 2 θ 2   d θ

I = 31 5 ∙ 4 3 θ 2 - sen ⁡ 2 θ 4 0 π 2

I = 31 5 ∙ 4 3 π 2 2 - sen ⁡ 2 π 2 4 - 0 2 - sen ⁡ 2.0 4

I = 31 5 ∙ 4 3 π 4 - sen ⁡ π 4 - 0 2 - sen ⁡ 2.0 4

I = 31 5 ∙ 4 3 π 4

I = 31 π 15

Resposta

I = 31 π 15

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