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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

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Enunciado

Coordenadas esféricas

Calcule a integral

∫ 0 5 ∫ 0 25 - x 2 ∫ 0 25 - x 2 - y 2 1 1 + x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

Passo 1

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Temos o seguinte:

0 ≤ z ≤ 25 - x 2 - y 2

Onde z = 25 - x 2 - y 2 é a casca superior de uma esfera de raio 5 .

Temos 0 ≤ x ≤ 5 e 0 ≤ y ≤ 25 - x 2 , onde y = 25 - x 2 é o arco da circunferência no plano x y de raio 5 que tem y ≥ 0 . Ou seja, temos isso aqui:

A região do problema é limitada pelos planos x = 0 , y = 0 e z = 0 e por essa casca de esfera. Pode conferir os intervalos que a integral deu!

Passo 2

Como a região é limitada por uma esfera, vamos utilizar coordenadas esféricas:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 s e n   φ

Passo 3

Precisamos escrever matematicamente a região de integração. Como a esfera tem raio 5 :

0 ≤ ρ ≤ 5

Você pode verificar isso fazendo a mudança esférica na sua equação!

Como só queremos a parte com z ≥ 0 , o ângulo φ não vai de 0 a π , mas de 0 a π / 2 . Já que temos 1 / 4 de volta no plano x y , 0 ≤ θ ≤ π / 2 .

W = ρ , θ , φ 0 ≤ θ ≤ π / 2 . ; 0 ≤ φ ≤ π / 2 ;   0 ≤ ρ ≤ 5

Passo 4

Vamos agora fazer a substituição esférica na integral:

∫ 0 5 ∫ 0 25 - x 2 ∫ 0 25 - x 2 - y 2 d z d y d x 1 + x 2 + y 2 + z 2 = ∫ 0 5 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 ρ 2 s e n φ 1 + ρ 2   d θ d φ d ρ =

Passo 5

Agora vamos integrar em relação a θ :

=   ∫ 0 5 ∫ 0 π / 2 ρ 2 s e n φ 1 + ρ 2 θ 0 π / 2 d φ d ρ =

= π 2 ∫ 0 5 ∫ 0 π / 2 ρ 2 s e n φ 1 + ρ 2 d φ d ρ =

Passo 6

Agora em relação a φ :

= - π 2 ∫ 0 5 ρ 2 cos ⁡ φ 1 + ρ 2 0 π / 2 d ρ =

= π 2 ∫ 0 5 ρ 2 1 + ρ 2 d ρ =

Passo 7

Ok, gente, agora vamos com calma. Repara que nós podemos escrever isso aqui:

ρ 2 1 + ρ 2 = 1 - 1 1 + ρ 2

Percebeu?? Agora vamos levar isso para a integral:

= π 2 ∫ 0 5 1 - 1 1 + ρ 2 d ρ =

= π 2 x - a r c t g   x 0 5 =

= π 2 5 - a r c t g   5

Resposta

π 2 5 - a r c t g   5

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