Coordenadas esféricas
Calcule a massa do sólido limitado pelas superfícies , e , com densidade .
Passo 1
O problema pede que calculemos a massa do sólido delimitado pelas superfícies acima, sabendo que sua densidade é dada por . Nós sabemos que:
Onde é o diferencial de massa e o de volume. Integrando ambos os lados na região em que o sólido está contido, temos que:
Passo 2
Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Temos a seguinte esfera:
Uma esfera de raio deslocada em .
E temos dois cones com eixo de simetria :
O segundo com abertura menor.
Bom já que temos cones e esfera, vamos usar coorenadas esféricas né? Como nas coordenadas polares o eixo de simetria é o , sabemos que chamar vai facilitar muito nossa vida. Vamos desenhar dessa forma aqui então:
Beleza?
Passo 3
Como nós fizemos , e , vamos usar as coordenadas polares assim:
Passo 4
Precisamos escrever matematicamente a região de integração.
Como temos uma volta completa em torno do eixo , . O ângulo , como podemos ver, vai desde um cone até o outro, então vamos fazer a mudança polar nas suas equações:
Agora falta o intervalo de , que vai desde até a superfície da esfera. Mas cuidado, como a esfera está deslocada, não temos ! Temos que fazer a mudança polar na esfera:
Logo, . A região é descrita por:
Passo 5
Vamos agora fazer a substituição esférica na integral:
Passo 6
Agora vamos integrar em relação a :
Passo 7
Agora em relação a :
Passo 8
Agora, vamos fazer a substituição:
Levando para a integral