UFSC – Cálculo C – P1 – Questão 5
Calcule
Onde é a região limitada pela superfície , externa à
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem? O problema nos deu essa integral tripla aqui
E pediu para calcularmos ela sabendo que é a região que está limitada (ou seja, por fora) pela equação e externa (ou seja, aqui vem a limitação inferior) à
Mas como definir os outros limites de integração?
Primeiro precisamos identificar que estamos lidando com coordenadas esféricas, então
E o integrando
Beleza?
Agora vamos aos limites! Em foi dado:
E nos outros ângulos? Então a ideia aqui é determinar onde essas duas curvas se cruzam para determinarmos o limite de integração da intersecção em .
E ? Como temos simetria esférica, temos que é a volta completa
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Vamos determinar onde as equações para se cruzam:
Aí temos
Achamos nossos limites!
Tranquilo até aqui?
Bora montar nossa integral
Podemos deixar ela pouco mais simples
Tranquilo? Agora é #partiu integrar!
Passo 3
Começando em
Podemos trazer para frente pois o integrando (nem os limites) dependem de e podemos calcular ao mesmo tempo! Usando a identidade trigonométrica e integrando temos
Beleza? Agora é só aplicar os limites!
E por fim vamos resolver e simplificar
E é isso!
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?