1. Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos uma região para esboçar. O problema já nos informou que temos um cone cuja a equação é

Ou seja, ele estará ao longo do eixo . Mas o problema, nos deu outra informação, disse que ele é limitado pela esfera , ou seja, vamos ter que desenhar uma esfera de raio também.

Fazendo os dois esboços, ficamos com:



Repara que o cone azul corta a nossa esfera vermelha,formando uma região cuja a base inferior é limitada pelo cone azul e a parte superior é limitada pela esfera.

Passo 2

2. Agora temos que calcular

Repara que temos que integrar . Pelo esboço que fizemos no passo anterior, vamos encontrar os limites de integração! Mas como a região é limitada por duas esferas e um cone, vamos utilizar coordenadas esféricas:

Agora Precisamos agora escrever matematicamente a região de integração. Pela própria figura, já temos que (uma volta completa em torno de ). Os valores de variam desde a superfície do cone (parte inferior) até a esfera (parte superior). O cone, como está centrado na origem, pode ser escrita como . Precisamos, então, fazer a mudança de coordenadas na equação da esfera:

Temos, então .

Falta agora o intervalo de . Pela figura, vemos que esse ângulo varia desde o eixo , onde temos até a superfície do cone. Vamos, então, escrever a equação desse cone em coordenadas esféricas:

Portanto, .