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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

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Enunciado

Coordenadas esféricas

Calcule a integral ∭ E   x y z   d V , em que E está no primeiro octante entre as esferas ρ = 2 e ρ = 4 e acima do cone φ = π / 3 .

Passo 1

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido.

Temos duas esferas centradas na origem, com raios ρ = 2 e ρ = 4 e a folha superior de um cone (onde temos z ≥ 0 ).

Queremos a região do 1º octante compreendida entre essas duas esferas e acima do cone, como pede o enunciado, fazendo esses cortes, teremos então:

Passo 2

Como a região é limitada por duas esferas e um cone, vamos utilizar coordenadas esféricas:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 s e n   φ

Passo 3

Precisamos agora escrever matematicamente a região de integração.

Pela própria figura, já vemos que 0 ≤ θ ≤ π / 2 (o que corresponde ao 1º octante). Os valores de ρ , nós vemos que variam desde a superfície da esfera menor até a da esfera maior. Traduzindo isso para coordenadas esféricas, temos 2 ≤ ρ ≤ 4 (pois as esferas estão centradas na origem!)

Falta, então, o intervalo de φ . Pela figura, vemos que esse ângulo varia desde o eixo z , onde temos φ = 0 até a superfície do cone φ = π / 3 .:

A região será escrita como:

W = { ( ρ , θ , φ ) | 0 ≤ θ ≤ π / 2 ; 0 ≤ φ ≤ π / 3 ;   2 ≤ ρ ≤ 4 }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos ⁡ φ

= ∫ 0 π / 3 ∫ 0 π / 2 ∫ 2 4 ρ   s e n   φ   c o s   θ . ρ   s e n   φ   s e n   θ . ρ cos ⁡ φ . ρ 2 s e n   φ   d ρ   d θ   d φ =

= ∫ 0 π / 3 ∫ 0 π / 2 ∫ 2 4 ρ 5   s e n 3   φ   cos ⁡ φ c o s   θ     s e n   θ   d ρ   d θ   d φ =

Passo 5

Agora vamos integrar isso aí. Em relação a ρ :

= ∫ 0 π / 3 ∫ 0 π / 2 ρ 6 6 s e n 3   φ   cos ⁡ φ c o s   θ     s e n   θ 2 4   d θ   d φ =

= 4 6 - 2 6 6 ∫ 0 π / 3 ∫ 0 π / 2 s e n 3   φ   cos ⁡ φ c o s   θ     s e n   θ   d θ   d φ =

Agora em relação a θ . Sabemos que:

d s e n 2 θ d θ = 2 s e n   θ cos ⁡ θ

Logo

∫ s e n θ cos ⁡ θ = 1 2 s e n 2 θ

Protanto, temos:

= 4 6 - 2 6 12 ∫ 0 π / 3 s e n 3   φ   cos ⁡ φ   s e n 2 θ 0 π / 2 d φ =

= 4 6 - 2 6 12 ∫ 0 π / 3 s e n 3   φ   cos ⁡ φ d φ =

Agora, para integrar em relação a φ , vamos lembrar que:

d s e n 4 φ d φ = 4 s e n 3   φ cos ⁡ φ

Logo

∫ s e n φ 3 cos ⁡ φ = 1 4 s e n 4 φ

Isso nos dá

= 4 6 - 2 6 12 1 4 s e n 4 φ 0 π / 3 =

= 4 6 - 2 6 3.2 4 3 2 4 - 0 =

= 9 4 6 - 2 6 3.2 8 =

= 2 6 . 9 2 6 - 1 3.2 8 =

= 3 2 6 - 1 4 =

Resposta

3 2 6 - 1 4

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