Calcule a integral tripla
Onde , usando coordenadas esféricas.
Passo 1
Ele já tá pedindo direto pra usar coordenadas esféricas, então vamos lembrar como é:
Então nossa integral vai ser escrita assim:
Que parece razoavelmente tranquilo de calcular, vamos só ver os limites do domínio antes.
Passo 2
A gente tem a região entre as duas esferas uma de raio e outra de raio , o que nos dá:
Mas só a parte de positivo, então ficamos com:
Como não temos nenhuma outra restrição, vamos ter mesmo. E nossa integral vai ficar assim:
Agora é só calcular!
Passo 3
Como só temos constantes, a ordem que fizermos aqui não vai importar, então:
Que agora a gente resolve fazendo a sustituição:
Então, vamos ter:
Aplicando os limites de integração:
E chegamos lá, tudo resolvido!