Calcule a integral tripla
Onde , usando coordenadas esféricas.
Passo 1
Ele já tá pedindo direto pra usar coordenadas esféricas, então vamos lembrar como é:
Então nossa integral vai ser escrita assim:
Que parece razoavelmente tranquilo de calcular, vamos só ver os limites do domínio antes.
Passo 2
A gente tem a região entre as duas esferas uma de raio e outra de raio , o que nos dá:
Mas só a parte de positivo, então ficamos com:
Como não temos nenhuma outra restrição, vamos ter mesmo. E nossa integral vai ficar assim:
Agora é só calcular!
Passo 3
Como só temos constantes, a ordem que fizermos aqui não vai importar, então:
Que agora a gente resolve fazendo a sustituição:
Então, vamos ter:
Aplicando os limites de integração:
E chegamos lá, tudo resolvido!
Resposta
Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas
Ver TeoriaExercícios de Livros Relacionados
Identifique a superfície cuja equação é dada. ρ = sen θ sen ϕ
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.(a) (5, pi, pi/2) (b) (4, 3, pi/4, pi/3)
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x yd zd yd x
Mostre que ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2e - x 2 + y 2 + z 2d xd yd z = 2 π (A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da e