UFMG, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - UFMG - Lista 1 - Integrais Duplas e Triplas, Questão 25
Seja o sólido no primeiro octante, interior ao cilindro , exterior ao cilindro , abaixo do parabolóide e acima do parabolóide . Calcule
.
Passo 1
Oiie, tudo bem com você?
Temos que calcular a seguinte integral tripla
a região é delimitada por uma série de superfícies, acima temos o parabolóide e abaixo o parabolóide . Mas, ele é lateralmente limitado para se manter dentro do primeiro octante (coordenadas positivas), e entre os cilindros e . Essa região é um pouco complicada de visualizar, então vamos com calma, tudo bem? Todos estes elementos têm uma certa simetria cilíndrica (assim como o integrando), portanto, vamos usar coordenadas cilíndricas e ver o que obtemos! Bora lá!
Passo 2
As coordenadas cilíndricas tem a forma
e, o elemento de volume nestas coordenadas se torna . A integral que precisamos resolver é então da forma
Já parece mais simples, certo? Vamos discutir um pouco os limites de integração agora! Vamos dar uma olhadinha em nossos cilindros, temos que
Note que o ângulo vai até o limite do octante que é , mas ele começa a ser contado na interseção entre o cilindro azul e o cilindro vermelho, que são dados em coordenadas cilíndricas pelas equações
e
Note então que a coordenada radial começa em , este também é valor de , em que ocorre a interseção, portanto, temos que obedece o vínculo
ou simplesmente
que é verdade para . O ângulo polar está então no intervalo . Usando também a equação do segundo cilindro, temos que a coordenada radial tem limite superior dado por
ou simplesmente
Portanto, os primeiros limites que obtemos são
Faltam apenas os limites da coordenada , bora lá!
Passo 3
Por último, temos que o nosso sólido é delimitado superiormente pelo parabolóide e inferiormente pelo parabolóide , portanto, em nossas coordenadas, temos que
e
e, a nossa integral se torna
Esses limites nos obrigam a integrar primeiro em , depois em , e por último em . Já que é o único que tem limites constantes. Então vamos lá! Comecemos pela integral em ! Saca só!
Passo 4
A integral em é tal que
que pode ser identificada como
ou simplesmente
Substituindo o resultado em nossa integral, temos que
Precisamos resolver a integral em agora! Bora lá!
Passo 5
As nossa integral pode ser dividida em duas da seguinte maneira
Ambas integrais em podem ser identificadas fazendo
Portanto, temos dois resultados
A nossa integral se torna então
Uff… Falta só a integral em agora! Vamos lá!
Passo 6
Vamos dividir a nossa integral em quatro, temos que
Temos a integral que pode ser identificada diretamente como
Agora, para as outras duas que faltam, é conveniente usar a substituição
e
e, como e , temos que resolver duas integrais
Ambas podem ser obtidas usando que
de forma que temos
e, da mesma forma
Sendo assim, temos o seguinte resultado final
que é equivalente à
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!