Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido que se encontra acima do cone e dentro da esfera .
Passo 1
Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Completando o quadrado na equação da esfera, temos:
Uma esfera centrada em . Como o cone está expresso na forma e sabemos que a raiz deve ser sempre positiva, a parte a que o enunciado se refere é a folha de cima, com . Temos, então, essa região da figura:
Passo 2
Temos que
Como a região é limitada por uma esfera e um cone, vamos utilizar coordenadas esféricas:
Passo 3
Precisamos escrever matematicamente a região de integração.
Pela própria figura, já vemos que , pois o sólido está em volta do eixo , fazendo uma volta completa. Os valores de , nós vemos que variam desde a origem até a superfície da esfera. Vamos, então, fazer a mudança de coordenadas na sua equação:
Temos, então,
Note que, como a esfera não está centrada na origem, não temos para sua equação, pois a distância dos seus pontos à origem não é constante.
Falta, então, o intervalo de . Pela figura, vemos que esse ângulo varia desde o eixo , quando até a superfície do cone, então vamos escrever sua equação em coordenadas esféricas:
Portanto, . A região será escrita como:
Passo 4
Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada.
Passo 5
Agora integraremos em relação a :
Passo 6
Agora, integramos em relação a :
Passo 7
Vamos resolver essa integral aqui rapidinho.
Repara que temos um seno e um cosseno ao cubo ali, se fizermos
A sua derivada vai estar na integral, então vamos fazer essa substituição
A nossa integral vai ficar
E vamos ter
Voltando para
E assim temos nossa integral.
Passo 8
Voltando para nossa integral vamos ter