O valor da integral

∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2 ∫ 0 4 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2 d z   d y   d x

é:

Passo 1

Bom, logo de cara, se você for observar, calcular essa integral nesse intervalo com raízes e tal, ia ser algo bem complicado. Uma coisa que sugere a mudança de variáveis ´f na nossa f x , y , z termos x 2 + y 2 + z 2 ,   oque logo de cara nos lembra das coordenadas esféricas.

x = ρ   s e n   φ   c o n θ

y = ρ   s e n φ   s e n θ

z = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 s e n φ

Passo 2

Observa o que temos ainda dessa questão:

1 )   0 ≤ z ≤ 4 - y 2 - x 2

2 )   0 ≤ y ≤ 4 - x 2

3 )   0 ≤ x ≤ 2

Trabalhando com 1)

z ≤ 4 - y 2 - x 2

z 2 ≤ 4 - x 2 - y 2

z 2 + y 2 + x 2 ≤ 4

Opa, com isso aí da pra perceber que estamos trabalhando dentro da esfera de raio 2. Detalhe, observa que inicialmente tínhamos a raíz (POSITIVA) isolada do lado direito, certo? Isso significa que só estamos trabalhando com a parte superior (Z POSITIVO) da esfera.

Passo 3

Trabalhando agora com 2)

y ≤ 4 - x 2

y 2 ≤ 4 - x 2

x 2 + y 2 ≤ 4

Daí da pra ver que estamos trabalhando com uma circonferência de raio 2 (no prano xy). Detalhe, da mesma forma que no passo anterior, observar que so estamos andando no y positivo.

Detalhe ainda que temos o x variando entre 0 e 2, ou seja, somente x positivo!

Passo 4

Depois desses passos é possível observar que estamos trabalhando somente com 1 8 da esfera total.

Lembra como variam os parâmetros?

Como estamos trabalhando só na parte superior da esfera,

0 ≤ φ ≤ π 2

O θ   que parte de x positivo, vai até o eixo x negativo, uma vez que só queremos a região do x e y positivo.

0 ≤ θ ≤ π 2

E pra fechar ficamos com a variação do raio sendo bem simples

0 ≤ r ≤ 2

Passo 5

Vamos então escrever nossa integral (sem esquecer o jacobiano):

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 ρ 2 ρ 2   s e n φ   d ρ d φ d θ

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ρ 5 5   s e n φ   | 0   2 d φ d θ

32 5 ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 s e n   φ   d φ   d θ

32 5 ∫ 0 π 2 - cos ⁡ φ | 0 π 2

32 5 ∫ 0 π 2 d θ

= 16 π 5

Resposta

16 π 5

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