(Capítulo 15.9 – Exercício 40) Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
Passo 1
Salvee pessoal! Aqui vamos resolver uma integral tripla, transformando as coordenadas para coordenadas esféricas ok?
Note que varia da parte inferior da esfera de raio até a parte superior, então podemos fazer a restrição .
No plano , varia de até , enquanto vai da parte inferior da circunferência de raio até a superior. O domínio de integração vai ser limitado pela esfera . Assim, , e .
Passo 2
Agora vamos olhar para o integrando:
Em coordenadas esféricas:
Portanto
Passo 3
Assim,
A primeira integral é
Desta forma,
Essa última integral é calculada fazendo :
Portanto,
Conseguimooos
Resposta
Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas
Ver TeoriaExercícios de Livros Relacionados
Identifique a superfície cuja equação é dada. ρ = sen θ sen ϕ
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.(a) (5, pi, pi/2) (b) (4, 3, pi/4, pi/3)
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x yd zd yd x
Mostre que ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2e - x 2 + y 2 + z 2d xd yd z = 2 π (A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da e