Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

Ver Teoria
Exercício 631234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 15 – Seção 9 – Exercício 40

(Capítulo 15.9 – Exercício 40) Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.

∫ - a a ∫ - a 2 - y 2 a 2 - y 2 ∫ - a 2 - x 2 - y 2 a 2 - x 2 - y 2 ( x 2 z + y 2 z + z 3 )   d z   d x   d y

Passo 1

Salvee pessoal! Aqui vamos resolver uma integral tripla, transformando as coordenadas para coordenadas esféricas ok?

Note que z varia da parte inferior da esfera de raio a até a parte superior, então podemos fazer a restrição ρ ≤ a .

No plano x y , y varia de - a até a , enquanto x vai da parte inferior da circunferência de raio a até a superior. O domínio de integração vai ser limitado pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 . Assim, 0 ≤ ρ ≤ a , 0 ≤ θ ≤ 2 π e 0 ≤ ϕ ≤ π .

Passo 2

Agora vamos olhar para o integrando:

x 2 z + y 2 z + z 3 = z   ( x 2 + y 2 + z 2 )

Em coordenadas esféricas:

x 2 z + y 2 z + z 3 = ρ cos ⁡ ϕ ⋅ ρ 2 = ρ 3 cos ⁡ ϕ

Portanto

∫ - a a ∫ - a 2 - y 2 a 2 - y 2 ∫ - a 2 - x 2 - y 2 a 2 - x 2 - y 2 ( x 2 z + y 2 z + z 3 )   d z   d x   d y = ∫ 0 a d ρ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π ρ 3 cos ⁡ ϕ ⋅ ρ 2   s e n   ϕ   d ϕ

Passo 3

Assim,

∫ 0 a ρ 5   d ρ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π s e n   ϕ cos ⁡ ϕ   d   ϕ

A primeira integral é

∫ 0 a ρ 5   d ρ = a 6 6

Desta forma,

∫ 0 a ρ 5   d ρ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π s e n   ϕ cos ⁡ ϕ   d   ϕ = π a 6 3 ∫ 0 π s e n   ϕ cos ⁡ ϕ   d   ϕ

Essa última integral é calculada fazendo u = s e n   ϕ ⇒ d u = cos ⁡ ϕ   d ϕ :

∫ 0 a ρ 5   d ρ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π s e n   ϕ cos ⁡ ϕ   d   ϕ = π a 6 3 ∫ 0 0 u   d u = 0

Portanto,

∫ - a a ∫ - a 2 - y 2 a 2 - y 2 ∫ - a 2 - x 2 - y 2 a 2 - x 2 - y 2 ( x 2 z + y 2 z + z 3 )   d z   d x   d y = 0

Conseguimooos

Resposta

0

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície com a equação dada. ρ cos ⁡ ϕ = 1
Descreva em palavras a superfície com a equação dada. ρ 2 - 3 ρ + 2 = 0
Use coordenadas esféricas.Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio a e seu centro.
Dentre as coordenadas cilíndricas e esféricas, utiliza a que lhe parecer mais apropriada.Um cilindro sólido possui densidade constante e raio de base a e altura h .Encontre o momento de inércia do cil
Identifique a superfície cuja equação é dada. ρ = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ