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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 31b

Calcule ∫ ∫ ∫ R z d x d y d z , onde R é limitada por:

b) z = x - 1 2 + y 2 ; z =   - x 2 + y 2 ;   x 2 + y 2 = 4

Passo 1

Olá meu caro amigo, como está? Hoje iremos resolver uma integral tripla sobre uma região R bem interessante, veja o gráfico da querida.

Interessante né? Não se assuste, vamos primeiro tratar de parametrizar a curva e depois seguimos.

x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ z = z

O nosso querido jacobiano é

J = r

Passo 2

Agora vamos encontrar os intervalos para a parametrização usada

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

x - 1 2 + y 2 → l i m i t e   s u p e r i o r   d e   z

- x 2 + y 2 → l i m i t e   i n f e r i r o   d e   z

x 2 + y 2 = 4   l i m i t e   o   p l a n o   x y

- r ≤ z ≤ r 2 - 2 r cos ⁡ θ + 1

Passo 3

Montando nossa integral

∫ ∫ ∫ R z d x d y d z

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ - r r 2 - 2 r cos ⁡ θ + 1 z r d z d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 - 2 r cos ⁡ θ + 1 - - r 2 2 r d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 - 2 r 2 cos ⁡ θ + r 2 d r d θ

= ∫ 0 2 π ( 1 4 2 2 - 1 3 2 3 cos ⁡ θ ) d θ

= 2 π

Resposta

= 2 π

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