Coordenadas Esféricas
Seja a região espacial limitada pelo hemisfério superior da esfera e pelo hemisfério superior do elipsoide
- Esboce a região espacial
- Descreva a projeção ortogonal de no plano usando igualdades ou desigualdades
- Escreva o voluma de na forma de uma integral tripla iterada usando coordenadas cilíndricas (neste item não é pedido o cálculo da integral)
- Escreva o volume de na forma de uma integral tripla iterada usando coordenadas esféricas (neste item não é pedido o cálculo da integral)
- Calcule o volume de
Passo 1
a)
Vamos começar fazendo a região espacial que ele pediu,
Temos uma esfera de raio centralizada na origem e um elipsoide centrado na origem, com eixo de sendo em vez do raio da esfera, ficando uma parada assim
Com a esfera dentro do elipsoide.
Passo 2
b)
Para achar a projeção vamos achar onde elas se cruzam
Isso nos diz que
Então vamos ter nessa parada, a projeção vai ser
Como queremos a parte toda de dentro desse cara temos que colocar um em vez de igual, vamos ter
Passo 3
c)
Vamos escrever agora o volume pelas coordenadas cilíndricas, primeiro vamos lembrar que o volume vai ser
Nas coordenadas cilíndricas teremos
Passo 4
Agora temos que achar os limites dessa parada.
Primeiro repara que a projeção em é , ou seja, um círculo de raio , isso nos diz que
E
Vamos agora para o valor de , pela gráfico podemos perceber que ele vai da esfera até o elipsoide. Vamos achar o na esfera primeiro então, fazendo a substituição pelas coordenadas cilíndricas
Como estamos pegando a parte de cima da esfera, quando tirarmos a raiz desse cara vamos pegar a raiz positiva, se fosse a parte de baixo pegaríamos a raiz negativa.
Vamos agora achar o segundo , o do elipsoide
Pelo mesmo motivo de antes vamos pegar a parte positiva da raiz
Isso nos diz que vai variar assim
Passo 5
O volume vai ficar
Passo 6
d)
Vamos agora achar esse volume por coordenadas esféricas, teremos
Passo 7
Aqui estamos pegando só a parte de cima de cada um desses caras, então vai de à , mas dessa vez vai variar só até a sua metade que vai ser de à
Vamos agora achar , ele vai desde o seu valor na esfera, que é o próprio raio da esfera, ou seja, até o seu valor no elipsoide que não fazemos ideia qual é.
Vamos achar o valor de no elipsoide substituindo as coordenadas esféricas na equação do elipsoide
Multiplicando tudo por
Como é sempre positivo por definição, vamos ter
Isso nos diz que
Passo 8
O volume vai ficar
Passo 9
e)
Vamos agora calcular esse volume, temos uma escolha para fazer, usar a fórmula pelas coordenadas cilíndricas ou pelas esféricas que calculamos antes. Nas coordenadas esféricas temos um limite de integração ingrato né? Levemente assustador integrar essa parada, vou te falar que nem faço ideia como fazer essa integral, então vamos usar as coordenadas cilíndricas mesmo.
O volume é
Chegamos a uma integral levemente ingrata, não tanto quando seria se tivéssemos feito por esféricas, mas ingrata, vamos separa um passo para fazer ela
Passo 10
Queremos fazer
Vamos chamar aquele cara dentro da raiz de
Isso porque a derivada dele vai ser algo parecido com o cara de fora
Temos na integral
A integral vai ficar
Temos que voltar para o valor de
Passo 11
Voltando para a integral do volume,
