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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Esféricas

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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 15 – Seção 9 – Exercício 25

(Capítulo 15.9 – Exercício 25) Utilize coordenadas esféricas.

Calcule ∭ E ( x e x 2 + y 2 + z 2 ) d V , onde E é a porção da bola unitária   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 que fica no primeiro octante.

Passo 1

Boraaa com as integrais triplas

Queremos encontrar ∭ E ( x e x 2 + y 2 + z 2 ) d V , onde E é a porção da bola unitária   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 que fica no primeiro octante.

O que a gente tem que fazer aqui é mudar o integrando pra coordenadas polares e definir nossos limites de integração.

Vamos primeiro determinar os limites de integração? Bora lá! Uma bola nada mais é do que uma esfera, certo? E queremos apenas o primeiro octante, então os ângulos máximos ϕ e θ são respectivamente π / 2 e π / 2 . E o raio? Temos da relação entre as coordenadas que:

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

E pela desigualdade, o raio ρ deve ser ≤ 1 . Então os limites de integração ficam assim oh:

0 ≤ ρ ≤ 1 0 ≤ θ ≤ π / 2 0 ≤ ϕ ≤ π / 2

Certo?

Passo 2

Agora vamos dar uma olhada no integrando. Temos que o argumento da exponencial é ρ 2 , e quanto ao x ? Bom, pra ele usamos a relação entre as coordenadas esféricas e o x :

x = ρ c o s θ s e n ϕ

Dessa forma o integrando fica assim oh:

x e x 2 + y 2 + z 2 d V = ρ c o s θ s e n ϕ e ρ 2 d V

E o diferencial de volume é ρ 2 s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ . Substituindo ali em cima temos finalmente o integrando:

ρ 3 e ρ 2 c o s θ s e n 2 ϕ d ρ d ϕ d θ

Feito! Agora que temos o integrando e os limites de integração, podemos substituir na integral e partir pro cálculo dela!

Passo 3

∭ E ( x e x 2 + y 2 + z 2 ) d V = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 ρ 3 e ρ 2 c o s θ s e n 2 ϕ d ρ d ϕ d θ

Notou como as variáveis são independentes? Ou seja, que podemos fazer separadamente as integrais. Isso facilita (e muito) nossa vida! Fica assim ó:

∫ 0 π / 2 c o s θ d θ ∫ 0 π / 2 s e n 2 ϕ d ϕ ∫ 0 1 ρ 3 e ρ 2 d ρ

Bora começar?

Vou começar fazendo a integração em θ :

s e n ϕ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 s e n 2 ϕ d ϕ ∫ 0 1 ρ 3 e ρ 2 d ρ = 1 - 0 ∫ 0 π 2 s e n 2 ϕ d ϕ ∫ 0 1 ρ 3 e ρ 2 d ρ = ∫ 0 π / 2 s e n 2 ϕ d ϕ ∫ 0 1 ρ 3 e ρ 2 d ρ

Agora vou usar a relação trigonométrica s e n 2 ϕ = 1 2 1 - cos ⁡ 2 ϕ para facilitar minha vida na hora de integrar em ϕ (sim, vou deixar ρ por último, essa vai dar um trabalhinho). Substituindo teremos:

∭ E x e x 2 + y 2 + z 2 d V = ∫ 0 π 2 1 2 1 - cos ⁡ 2 ϕ d ϕ ∫ 0 1 ρ 3 e ρ 2 d ρ = ∫ 0 1 ρ 3 e ρ 2 d ρ   . ϕ 2 - 1 4 s e n 2 ϕ 0 π 2 = ∫ 0 1 ρ 3 e ρ 2 d ρ π 2 . 1 2 - 1 4 s e n 2 π 2 - 0 2 + 1 4 s e n 0 = π 4 ∫ 0 1 ρ 3 e ρ 2 d ρ

Ufa! Estamos quase lá! Agora ficamos com essa integral aqui oh:

π 4 ∫ 0 1 ρ 3 e ρ 2 d ρ

Passo 4

Então temos

π 4 ∫ 0 1 ρ 3 e ρ 2 d ρ

E essa aqui vou fazer por partes e separar o ρ 3 em ρ e ρ 2 (truque sujo!). Vou chamar de u = ρ 2 e assim o d v é d v = ρ e ρ 2 d ρ . Na integração por partes usamos a derivada de u , então precisamos calcular ela:

d u = 2 ρ d ρ

E também vai a integral de d v :

v = ∫ ρ e ρ 2 d ρ = 1 2 e ρ 2

Lembrando que a integração por partes é:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos substituir:

π 4 ρ 2 1 2 e ρ 2 - ∫ 1 2 e ρ 2 2 ρ d ρ ρ = 0 ρ = 1 = π 4 ρ 2 e ρ 2 2 - ∫ 1 2 e ρ 2 2 ρ d ρ 0 1

Bom, estamos quaaase lá! Agora temos de resolver essa segunda integral. Ela é bem parecida com a integral de d v que resolvemos ali em cima, então saca só:

= π 4 ρ 2 e ρ 2 2 - 1 2 e ρ 2 0 1

Agora é só aplicar nos limites! Lembra que e 0 = 1 , saca só como fica:

= π 4 1 2 e 1 2 2 - e 1 2 2 - 0 2 e 0 2 + e 0 2 = π 4 e 2 - e 2 - 0 + 1 2 = π 4 . 1 2 = π 8

Ufa! Terminamos! O resultado é π / 8 . Beleza? Até a próxima!!

Resposta

π / 8

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