Calcule o volume da região delimitada por cima pelo cone e por baixo pela esfera utilizando coordenadas esféricas.
Passo 1
A gente sabe que o volume é dado pela integral tripla:
E como o exercício mesmo já pede coordenadas esféricas, vamos lembrar comom que é:
E, por isso, o jacobiano fica:
Então nossa integral vai ficar:
Então vamos começar fazendo um esboço da região pra encontrarmos os limites da região nessas coordenadas esféricas.
Passo 2
Temos uma esfera descentralizada e um cone, então ficamos com algo mais ou menos assim:
Ou seja, a nossa região é limitada exteriormente pela esfera e interiormente pelo cone.
Daí, vemos que temos mesmo.
Do cone, nós tiramos o limite inferior de , lembre-se sempre disso: o ângulo começa no eixo , é como se fosse o eixo e depois começamos a contar.
Portanto vai de (cone) até
Então .
Toma muito cuidado, isso é confuso pra caramba mesmo, beleza?
E o vai ser limitado pela esfera, que pela equação, vamos ter:
Então .
E agora vamos lá calcular a integral!
Passo 3
Substituíndo os limites na integral que a gente tinha lá em cima, vamos ficar com:
Que a gente resolve pela substituição:
Então:
Agora é só aplicar os limites de integração:
Teve até umas continahs chatas, mas no final do resultado deu até simples, né?